二次函数与几何综合题目背景07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。

几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。

因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。

要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。

要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。

题型分析题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。

（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。

解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。

要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。

（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。

解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。

在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。

1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。

2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。

二次函数与三角形综合【例1】.（2012武汉中考）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得∴直线AB解析式为y=2x﹣2．∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴点C的坐标为（4，6）．（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点．∴y D=4，y E=，∴DE=．∵FG=DE=4：3，∴FG=2．∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．∴y F=2a﹣2，y G=a2﹣2∴FG=|2a﹣a2|=2，解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2．（3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；∴0=﹣t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，∴MO=OT，HT=HN∴OT=4，NT=﹣，NH=（2﹣t），PT=﹣t+t2．∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT，∴﹣t+t2=（2﹣t），∴t1=﹣2，t2=2（舍）﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．【例2】.（2011武汉中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM 交于点 D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例3】. （2010武汉中考）如图，拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A(-1，0)，C(2，23)两点，与x 轴交于另一点B ； (1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45︒，设线段OP=x ，MQ=22y 2，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m ，x=n 分别与拋物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图像交于点F ，H 。

问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由。

25. 解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A(-1，0)，C(0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴a= -21， b=23，∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23。

(2) 作MN ⊥AB ，垂足为N 。

由y 1= -21x 2+x +23易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=22， ∠MBN=45︒。

根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。

∴(22)2-22=PM 2= -(1-x)2… ，又∠MPQ=45︒=∠MBP ， ∴△MPQ~△MBP，∴PM 2=MQ ⨯MB=22y 2⨯22… 。

由 、 得y 2=21x 2-x +25。

∵0≤x<3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x<3)。

(3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是 m +n=2(0≤m ≤2，且m ≠1)。

∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为E(m ，-21m 2+m +23)，G(n ，-21n 2+n +23)。

同理，点F 、H 坐标为F(m ，21m 2-m +25)，H(n ，21n 2-n +25)。

∴EF=21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH=21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1。

∵四边形EFHG 是平行四边形，EF=GH 。

∴m 2-2m +1=n 2-2n +1，∴(m +n -2)(m -n)=0。

由题意知m ≠n ，∴m +n=2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。

因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n=2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。

【例4】. （2009武汉中考）如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．25．解：（1）抛物线经过，解得抛物线的解析式为．（2）点在抛物线上，，即，或．点在第一象限，点的坐标为． 由（1）知． 设点关于直线的对称点为点．，，且，， 点在轴上，且．，． 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作于，于．由（1）有：， ．，且．，24y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP ∠=°P 24y ax bx a =+-(10)A -，(0C 404 4.a b a a --=⎧∴⎨-=⎩，13.a b =-⎧⎨=⎩，∴234y x x =-++(1)D m m +，2134m m m ∴+=-++2230m m --=1m ∴=-3m =D ∴D (34)，45OA OB CBA =∴∠=，°D BC E (04)C ，CD AB ∴∥3CD =45ECB DCB ∴∠=∠=°E ∴y 3CE CD ==1OE ∴=(01)E ∴，D BC PF AB ⊥F DE BC ⊥E 445OB OC OBC ==∴∠=，°45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠°，(04)(34)C D ，，，CD OB ∴∥3CD =45DCE CBO ∴∠=∠=°2DE CE ∴==，． 设，则，，． 点在抛物线上，，（舍去）或，． 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．． ，又，．，，． 由（2）知，． ，直线的解析式为．解方程组得 点的坐标为．4OB OC ==BC ∴=BE BC CE ∴=-=3tan tan 5DE PBF CBD BE ∴∠=∠==3PF t =5BF t =54OF t ∴=-(543)P t t ∴-+，P ∴23(54)3(54)4t t t =--++-++0t ∴=2225t =266525P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，D BD PB Q D DH x ⊥H Q QG DH ⊥G 45PBD QD DB ∠=∴=°，QDG BDH ∴∠+∠90=°90DQG QDG ∠+∠=°DQG BDH ∴∠=∠QDG DBH ∴△≌△4QG DH ∴==1DG BH ==(34)D ，(13)Q ∴-，(40)B ，∴BP 31255y x =-+23431255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，，1140x y =⎧⎨=⎩，；222566.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P 266525⎛⎫- ⎪⎝⎭，【例5】.（2011年四调）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么，我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线C1：y=（x+1）2﹣2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．（3）A为抛物线C1：y=（x+1）2﹣2的顶点，B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。