2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)电气092班电气092班2【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二） 地点：主教楼1601教室 以下题目供同学们复习参考用！！！！《高等数学》（二）期末模拟试题一、填空题：（15分）1．设,yx z =则=∂∂xz .1-y yx2. 积分=⎰⎰Dxydxdy .其中D 为40,20≤≤≤≤y x 。

163. L 为2x y =点(0,0)到(1,1)的一段弧，则=⎰ds y L.12155-4. 级数∑∞=-1)1(n p nn当p 满足 时条件收敛.10≤<p5. 方程0)1(=+-dy e dx ye xx的通解为 .)1(xe C y += 二、选择题：（15分）1．方程0)4(sin )cos 3(32=-++dy y x dx x y x 是 .C(A)可分离变量微分方程； （B ） 一阶线性方程;（C ）全微分方程; （D ）（A ），B ）,（C ）均不对. 2．),(y x f z =在),(00y x 可微,则yzx z ∂∂∂∂,在),(00y x 。

C （A ）连续； （B ）不连续； （C ）不一定存在； （D ）一定存在。

3．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 是 。

A（A ）发散； （B ）收敛； （C ）条件收敛； （D ）绝对收敛。

4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为 。

B电气092班电气092班3（A ）⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22; （B ）⎰⎰⎰112 0rdz rdr d πθ；（C ）⎰⎰⎰+----22221 1 11 y x x xdz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰11 02 0dz rdr d πθ。

5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。

B（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+三、),(22x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22xz∂∂.（8分）解：)2(x f x z -⋅'=∂∂ )2()2(222-⋅'+-⋅''=∂∂f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求xy z∂∂∂2.x f f yz⋅'⋅'+-⋅'=∂∂ϕ21)1(]2[12112y f x f xy z⋅'⋅''+⋅''-=∂∂∂ϕx y f x f ⋅'⋅⋅'⋅''+⋅''+ϕϕ]2[2221ϕϕ'⋅'+⋅⋅''⋅'+22f x y f 1122)(f x xy f ''-''+'⋅'=ϕϕ222122)2(f xy f y x ''⋅'+''⋅'-+ϕϕ 四、计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到C(-1,0)的有向折线。

（8分）解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P xx y e x Q y e y P xx cos ,2cos =∂∂-=∂∂ .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )2cos ()2sin (电气092班电气092班4⎰⎰⎰-+--∂∂-∂∂=CA x x Ddy y e dx y y e dxdy y Px Q )2cos ()2sin ()(02-=⎰⎰dxdy D=2五、计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。

（8分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕ202020:r⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++dv z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy )(222222⎰⎰⎰⋅=ππϕϕθ2002224sin drr r d d 5)22(32-=π六、求级数∑∞=22n n nx 的收敛域及和函数。

（8 分）解：,2n a n =,1lim1==+∞→n n n a a ρ 11==ρR.,1级数发散时当±=x )1,1(-∴幂级数的收敛域为 ),(22x s nx n n=∑∞=令 ,0)0(=s)(22)(221'==∑∑∞=∞=-n n n n x x nxx x s)1(22'-=x x x xx x 2)1(22--=七、计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z 截下的带锥顶的部分。

（8分）解： 3:22≤+∑y x D xoy 面的投影为在,)(322y x z +=由电气092班电气092班5)(3,)(32222y x y y z y x x x z +=∂∂+=∂∂，32)()(122=∂∂+∂∂+y z x z⎰⎰⎰⎰+=+∑Ddxdy y x dS y x 32)()(2222dr r r d 3220302⎰⎰⋅=πθπ98= 八、求函数22y x z +=在适合条件132=+yx 下的极小值。

（7分）1336 4.721312138===y x zP 课本九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解。

（8分）解：特征方程 ,0232=+-r r 特征根 ，，2121==r r对应齐次方程通解,221x x e C e C Y +=是单根，1=λΘ,*xaxe y =设 代入原方程化简得：—a=3,3*xxe y -=∴ :原方程的通解为xx x xe e C e C y 3221-+=十、把)0(,)(π<<=x x x f 展开为余弦级数。

（7分） 解：.),()(上连续在∞-∞x F)sin |sin (2sin 2 cos )(22)(2 )(200000⎰⎰⎰⎰⎰-⋅=⋅=⋅====ππππππππππnxdx nx x n πnx d x n πnxdx x f a dx x dx x f a x F l n 的函数成周期为将进行偶延拓，并延拓]1)1[(22--=nπn),0( cos ]1)1[(22)( 12ππ∈--+=∴∑∞=x nx πn x f n n十一、已知曲线积分电气092班电气092班6⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e 与路径无关，其中)(x f 可微，0)0(=f ，试确定)(x f ，并计算曲线积分的值。

（8分） 解：)(,)(1)1(x f Q y x f x n x e P n x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=)(),(1)1(x f x Qx f x n x e y P n x '=∂∂+++=∂∂ ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0(,)()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e 与路径无关Θ)(1)1()(,x f x n x e x f x Q y P n x +++='∂∂=∂∂∴即)(1)1()(,x f x n x e x f x Q y P n x +++='∂∂=∂∂∴即])1([)()1()1(C dx ex e ex f y dxx nnx dx x n+⎰+⎰==+-+--⎰)()1(C e x x n ++=0)0(=f Θ 1-=∴C )1()1()(-+=∴x n e x x f ⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x nx dy x f ydx x f x n x e Θ⎰-+==y x n y e x dy x f 0)1()1()(。