课时作业(十三)
1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64
答案 A
解析 a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.
2．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8等于( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．12 答案 C
解析 ∵S 15＝15a 8＝90, ∴a 8＝6.
3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7 D ．不存在 答案 B
解析 ∵d ＜0，∴a 3＝－a 9，∴a 3＋a 9＝0. 又a 3＋a 9＝2a 6, ∴a 6＝0.又d ＜0，∴S 5或S 6最大．
4．等差数列{a n }中，前n 项和S n ＝an 2＋(a －1)·n ＋(a ＋2)，则a n 等于( ) A ．－4n ＋1 B ．2an －1 C ．－2an ＋1 D ．－4n －1 答案 D
解析 ∵{a n }为等差数列，且S n ＝an 2＋(a －1)·n ＋(a ＋2)，∴a ＋2＝0，a ＝－2，∴S n ＝－2n 2－3n. ∴a n ＝－4n －1.
5．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和是( ) A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2
C.n （n ＋5）2
D.n （n ＋7）2
答案 C
解析 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋a n 2＝3＋2n ＋1
2＝n ＋2，
∴{b n }前n 项和T n ＝n （3＋n ＋2）2＝1
2
n(n ＋5)．
6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 值是( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18
答案 B
解析 a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.
7．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B
解析 由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×98
2＝99.∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.
又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列． ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋
33×32
2
×3＝33(48－46)＝66. 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
答案 D
解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.
9．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为( ) A ．7 B ．8 C ．11 D ．16 答案 C
10．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 最大时n 的值
为( ) A ．16 B ．8 C ．9 D ．10
答案 B
解析 S 16＝16（a 1＋a 16）
2＝8(a 8＋a 9)＞0，
S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＜0，
∴a 8＞0且d ＜0，∴S 8最大．
11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12等于( )
A.3
10 B.1
3 C.18 D.19 答案 A
解析 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列，设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，
∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴S 6S 12＝3k 10k ＝310
. 12．(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.选C.
13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n ＝______． 答案 10
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，
a n ＋a n －1＋a n －2＝78，可得3(a 1＋a n )＝93.
∴a 1＋a n ＝31.
又S n ＝n （a 1＋a n ）2， ∴155＝31n
2
， ∴n ＝10.
14．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 答案 5或6
15．(1)(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋
1.求数列{b n }的通项公式．
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .
解析 (1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11， 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，
由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，
17＝2b 1＋3d ，
可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1. (2)①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5. ②当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，
又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 （n ＝1），2n －1 （n ≥2）.
16．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110. 解析 (基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧10a 1
＋10（10－1）2d ＝100，100a 1
＋100（100－1）2
d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1
＝1 099100
，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫
－1150＝－110.
17．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；
(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．
解析 (1)依题意⎩⎨
⎧S
12＝12a 1＋
12×11
2
d>0，S
13＝13a 1＋13×12
2
d<0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d>0， ①a 1＋6d<0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③
将③分别代入①，②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d>0，3＋d<0，
解得－24
7
<d<－3.
(2)S 6的值最大，理由如下：
由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．
已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．2n ＋1 D ．2n －1
答案 D。