正弦定理（二）
04.04.23
内容
在一个三角形中，各边和它所 正
对角的正弦的比相等 弦
定
数学表达式
理 abc
sin A sin B sin C
正弦定理的用途：
1、已知两角和任一边,求其他两边和一角;
1已知A、B、a. 求C、b、c.
2已知A、B、c.求a、b、C.
2、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 及其他的边和角
已知A、a、b.求c、B、C
注意B的解的情况：一解、两解、无解
3、判断三角形的形状.
从已知条件出发，寻找到三角形的边与边或角与角之间的 关系，然后判断之。
已知两边和其中一边对角时，解的个数的探寻：
已知A、a、b；求B

sin
B

bsin A a
1A 90时 d asin A
ad时
a b时
例3、在ABC中，A 30，b 12，S 18，
则 sin
A sin B sin C abc

1
__1_2__.
正弦定理的变形： a b c 2R sin A sin B sin C
abc
2R
sin A sin B sin C
在ABC中，A B是sin A sin B的充要条件。
例4、在ABC中， （1）A 60，a 1，b c 2，解此三角形； （2）ab 60，sin A cosB，S 15，求三角形三内角。
dba A
M
B
N
C
da b
M
A
B
例题讲解：
例1、(1)若 sin A cosB cosC ，则ABC是形状是等__腰_直__角__三_角_.形
a
b
c
(2)在ABC中，b cos A a cos B，则ABC的形状是等__腰_三__角_形_.
例2、若ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且最大边 是最小边的2倍，则三内角之比是__1_：_2_：_3_.
M
C
b
一解
N
A
一解
BN
已知A、a、b；求B

sin
B

bsin A a
1A 90时 d asin A
d a b时
CM
ba
d
A
N B两2解B1
a d时
M C
ba
d
A
N
无解
2A 90时 d asin A
a b时,一解;其余情况无解.
N
C