图2
C
A
B
图3
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
图2
4
9
13
图3
9 25
34
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
猜想：
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股 命题定1理如: 果如直果角直三角角三形角的形两直 的角两边直长角分边长分
C C
bC a
C
a
b
它们的面积和 : a2 b2 它的面积为 : c2
a2 b2 c2
伽菲尔德证法:
a
bc
c a
b
s梯形=
1 (a+b)(a+b)=
2
1 (a2+2ab+b2)
2
= 1 a2+ab+ 1 b2
2
2
s梯形=2×
1 ab+ 1 c2=ab+ 1 c2
2
2
2
∵s梯形=s梯形 ∴ 1 a2+ab+ 1 b2=ab+ 1 c2
17.1 勾股定理
勾股定理——千古第一定理
c a
b
情景1：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到 每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果云梯 的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三 楼灭火?
情景2：小明的妈妈买了一台29英寸（74厘米）的电 视机，小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了， 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理: 如果直角三角形的两直角边长分 别为a,b, 斜边长为c, 那么a2 b2 c2.
勾 股
勾 a c弦
股b
部分称在为中“国∵勾古在”代，R，下人t∆半们A部把B分弯C称曲中为成“直,∠股角”的C．手=9我臂0国的0 古上代半 学者把直角∴三a角2+形b较2=短c的2 直角边称为“勾”，较长
勾股定理——千古第一定理
c a
b
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家 的地砖铺成的地面上找到了答案，同学们看看图中有没有直 角三角形，从中你能找到答案吗？
A
B
ab
c
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
B
A C
试一试:
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３
４
试一试:
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12
米,则AB为
(A)
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
2
2
2
∴a2+b2=c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．
还有其他证明方法吗？
c
a
b
1、证明: ∵ss大 s大大正正正方方方形形形===(sac大+2+b正4)×方2=形12aa2+b2=acb2++2ba2 b ∴a2+2ab+b2=c2+2ab ∴a2+b2=c2
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年希 年腊希曾腊经曾经发发行行了了一一枚枚纪念纪票念。邮票。
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
别为 别为 a,ba,,b斜, 斜边边长长为为cc,,那那么么aa22 bb22 cc22..
大正方形面积: c2
还可看作四个直角三角形和一个小正方形
a
c 之和: 4 1 ab (b a)2 c2
b
2Байду номын сангаас
cb
a 2ab (b2 2ab a2) c2
即： a2 b2 c2
(1)求高AD的长;
A
(2)求S△ABC .
6?
B 3D C
练一练 已知:如图,等边△ABC的高AD是 3 .
(1)求边长;
A
(2)求S△ABC .
2x 3
B xD C
图1-1
图1-2
例题分析
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.
A
13
?
C 12 B
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续
偶数,则它的三边长分别为
( B)
A 2、4、6
Ｂ 6、8、10
Ｃ 4、6、8
Ｄ 8、10、12
试一试:
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC的长为 5 或 7 . B
B
4
4
C3 A
A3 C
例题分析
例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .