a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 则称F是一个域。
例F1 有理数全体、 实数全体、 复数全体对加法、 乘法都分别构成域， 分别称有理数域、 实数域和复数 域。 且这 3 个域中的元素个数有无限多个， 所以称它 们为无限域。
例F2 0、 1 两个元素按模2加和模 2 乘构成域。 该域中只有两个元素， 记为GF(2)或F2。
二、 陪集 若G中有子群H， 则可用H把G划分成等价类， 如下所示： 设群G的元素是： g1， g2， g3， g4， …； 子群H的元素是： h1， h2， h3， …；
h1=e
h2
g1h1=g1 g1h2
g2h1=g2 g2h2
………
h3 … g1h3 … g2h3 …
…
gnh1=gn gnh2 gnh3 … ↑
定理2.4.1 群G的非空子集H为G的子群的充要条件是： (1) 若a∈H， b∈H， 则ab∈H； (2) 若a∈H， 则a的逆元a-1∈H。 证明 若H为子群， 则(1)、 (2)自然成立。 反之， 由 (1)可知， H关于G的代数运算封闭。 由(2)知， H中的每 一元素均有逆元。 因为H是G的子集， 所以G中的结合律 在H中同样适用， 又因a∈H， a-1∈H及aa-1=e∈H(由(1) 条件)， H中有单位元， 故H是一个群。
定理 2.3.2 设p为素数， 则整数全体关于模p的剩余 类： 0 ， 1 ， 2 ， …， p-1 ， 在模p运算下(模p相加和 相乘)， 构成p阶有限域Fp(GF(p))。
证明 由前面已知， 模m整数(m不一定为素数)剩余 类集合构成交换环Zm， 现在只需证明当m=p为素数时， 非 0 元素有逆元即可。 1 为单位元， 因为p为素数， 因此任何小于p的数a和p均互素。 所以， 由欧几里德 算法可知：
0 ， 1，2，3，4，5，6 构成环Z7， 且为可换环。
例 R5 实系数多项式全体构成环。 例 R6 n阶方阵全体构成环。
定理 2.3.1 任何a， b∈R， 有 (1) a0=0a=0； (2) a(-b)=(-a)b=-ab。 除了以上性质外， 环中还有许多较特殊的性质。 (1) 环中可以有零因子。 设a、 b∈R， 且a≠0， b≠0， 若ab=0∈R， 则a、 b为零因子， 称有零因子的 环为有零因子环。
定理2.4.2 H是G的子群的充要条件是： 对任何a， b∈H， 恒有ab-1∈H。
证明 若H是G的子群， 则上述条件自然成立。 反 之， 假定上述条件成立， 现在要证H是G的子群。
因为H为非空子集。 所以必有a∈H， 再令b=a， 由假设条件可得aa-1∈H， 而aa-1=e， 所以e∈H， H中 有单位元存在。
(a， p)=1=Aa&≡Aa (mod p)
所以
1 =A a
也就是剩余类中任一元素a均有逆元a-1=A。
例F3 以p=3 为模的剩余类全体： 0 ， 1 ， 2 构成 一个三阶有限域GF(3)， 它们的模 3 加法和乘法运算表 如下所示：
012 0012 1120 2221
二、 域 除上面所讲的群、 格和环以外， 域在编码理论中 起着关键作用。 域是定义了两种代数运算的系统。 定义 2.3.2 非空元素集合F， 若在F中定义了加和 乘两种运算， 且满足下述公理：
(1) F关于加法构成阿贝尔群。 其加法恒等元记为 0。 (2) F中非零元素全体对乘法构成阿贝尔群。 其乘法 恒等元(单位元)记为 1。 (3) 加法和乘法间有如下分配律：
012 0000 1012 2021
§2.4 子群、 正规子群和商群
一、 子群 定义2.4.1 若群G的非空子集H对于G中定义的代数 运算也构成群， 则称H为群G的子群。 例如， 偶数全体构成的群是全体整数所构成加群 的一个子群。 每个群一定有两个子群， 群自己和由一个恒等元 所构成的群， 称这两个子群为假子群或平凡子群。 除 这两个假子群以外， 所有其它子群称为真子群。
其次， 由a∈H， e∈H， 由条件可推出ea-1∈H， 而ea-1=a-1， a-1∈H， 故H中的每一元素a均有逆元a-1存 在。
最后， 由a∈H， b∈H(从而b-1∈H)， 再根据条件 可知a(b-1)-1=ab∈H， 所以在H中封闭性成立。 由此可 知， H满足群的公理， 所以H是一子群。
子群 H: 0 5 -5 10 -10 …， 0 1+h： 1 6 -4 11 -9 …， 1 2+h： 2 7 -3 12 -8 …， 2 3+h： 3 8 -2 13 -7 …， 3 4+h： 4 9 -1 14 -6 …， 4
引理 2.4.1 群G的两个元素ga、 gb属于子群H的同一 陪集的充要条件是g-1agb∈H。
从上可知， 陪集其实就是把G中的元素按子群H 划分成等价类， 在同一陪集中都含有一个共同的元素 gi(陪集首)。
在阿贝尔群中， 由于对任何g， h∈G， gh=hg， 因此左陪集等于右陪集。
例如， 全体整数构成一个加群， 以m为倍数的整 数全体是其中的一个子群， 所以可以按此子群把全体 整数划分陪集。 如m=5， 则陪集表如下：
第6章 系统分析
（优选）纠错码环与域的基本概念
例 R1 全体整数构成环， 用Z表示。 例 R2 全体偶数构成环。 例 R3 某一整数m的倍数全体构成环， 如 3 的倍数 全体…， -3， 0， 3， 6， 9， …， 构成一个环。
例 R4 模整数m的全体剩余类构成环， 称此环为剩 余类环， 用Zm表示。 如模m=7所构成的全体剩余类：
陪集首
定义2.4.2 设H是群G的子群， g是G中的任一元素， 将g左(右)乘H中的每一元素， 便得到gh(hg)的元素集 合， 记gH(Hg)， 称之为它的子群H在群G中的一个左 (右)陪集， 称e， g1， g2， …， gn为陪集首。
由定义可知， 若g=e∈H， 则eH=H。 因此子群本 身就是一个左(右)陪集。 同样， 若b∈gH， 即 b=gh(h∈H)， 则bH=ghH=g(hH)=gH。 这表明左(或右) 陪集gH可由其中任一元素唯一确定。