dx
≤
e
⋅
(1
−
0
)
∫ 即 1 ≤ 1exdx ≤ e 0
b
∫a dx = b − a
2009年7月3日星期五
21
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8. 积分中值定理
若 f (x) ∈ C[a ,b], 则至少存在一点 ξ ∈[a ,b], 使
∫b a
f
( x) dx
=
f
(ξ )(b − a)
证: 设 f (x) 在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m, M ,
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定积分的几何意义:
f (x) > 0,
∫b a
f
(x)
dx
=
A
曲边梯形面积
f (x) < 0,
∫b a
f
( x) dx
=
−
A
曲边梯形面积的负值
y
A1
a
A2
A3
A5
A4
bx
∫b a
f
(x)
d
x
=
A1
−
A2
+
A3
−
A4
+
A5
各部分面积的代数和
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作以[xi−1 , xi ] 为底 , f (ξi )
y
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 ΔAi , 得
o a x1 xi−1 xi b x
ξi
ΔAi ≈ f (ξi )Δxi (Δxi = xi − xi−1 ,) i = 1, 2, , n )
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5.
∫
b a
f
(
x)
dx
=
∫c a
f
(
x)
dx
+
∫b c
f
(
x)
dx
证: 当 a < c < b 时,
a
因 f (x) 在 [a ,b] 上可积 ,
c
b
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
∑ f (ξ i )Δxi = ∑ f (ξ i )Δxi + ∑ f (ξ i )Δxi
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v = v(t) ∈C[T1 , T2 ], 且 v(t) ≥ 0, 求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小. 在 [T1 , T2 ]中任意插入 n −1个分点, 将它分成
n 个小段 [ti−1 ,t i ] (i = 1, 2, , n), 在每个小段上物体经 过的路程为 Δ s i (i = 1, 2, , n)
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内容小结
1. 定积分定义 —— 乘积和式的极限 2. 定积分的几何意义 3. 定积分存在的3个充分性条件 4. 定积分的8条基本性质
课后练习
习题5-1 1（2）（4）； 7； 8（利用定积分几何意义）； 9
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思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
I
=
lim
n→∞
1 n
⎣⎡⎢sin
π
n
+ sin
2π
n
+
+
sin
(n
−1)π
n
⎤ ⎥⎦
∑ ∫ 解:
I
=
lim
1
n−1
sin
kπ
⋅π
=
1
n→∞ π k=0 n n π
π
sin x dx
0
0 π 2π
nn
∑ ∫ 或
I
=
lim
n−1
sin(π
⋅
k)
⋅1
=
1
sin
π
x
dx
n→∞ k =0
nn 0
(n−1)π π x
a = x0 < x1 < x2 < < xn = b , 令 Δx i = xi − xi−1 , 任取
n
ξ i ∈[xi , xi−1] , 只要 λ = 1m≤ia≤xn{Δxi} → 0时
∑ f (ξi ) Δxi
i=1
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间
[a ,
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令λ →0
∫b a
f
( x) dx
=
∫c a
f
(x)
dx
+
∫b c
f
(x)
dx
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当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a < b < c ,
则有
a
b
c
∫c a
f
(
x)
dx
=
∫b a
f
(
x)
dx
+
∫c b
f
(
x)
−
x
⎤ ⎦
dx
= π ×12 − 1 ×1×1
o
1
x
42
=π−1 42
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三、定积分的性质 （设所列定积分都存在）
1.
∫b a
f
(
x)
dx
=
∫− a b
f
(
x)
dx
2.
∫
b
dx
a
=
b
−
a
∫a a
f
(
x)
dx
=
0
3.
∫b a
k
f
(
x)
dx
=
k
∫b a
f
(
x)
dx
14
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∫ 例 2 求定积分
1
(
1 − (x − 1)2 − x)dx 的值.
0
∫ 解：
1
(
1 − (x − 1)2 − x)dx 表示圆 ( x − 1)2 + y2 = 1( y ≥ 0)
0
的一部分与直线 y = x 所围成的图形的面积， y = x
因此，
y
∫ 1⎡ 0⎣
1 − (x − 1)2
f
( x) d
x
=
n
lim ∑
λ→0 i=1
f
(ξ i
) Δxi
≥
0
推论1 若在 [a , b] 上 f (x) ≤ g(x), 则
∫b a
f
(
x)
dx
≤
∫
b a
g
(
x)
dx
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推论2
∫b a
f
(
x)
dx
∫≤ b a
f (x)
dx
(a < b)
证: ∵ − f (x) ≤ f (x) ≤ f (x)
= ξi2Δxi
= i2 n3
o
i 1x
∑ n
∑ f (ξi )Δxi
i=1
=1 n3
n
n i =1
i2
=
1 n3
⋅
1 6
n(n +1)(2n
+ 1)
=
1 (1+ 6
1)(2 n
+
1) n
∫ ∑ ∴
1 0
x2
dx
=
lim
λ →0
n i =1
ξ
i 2 Δxi
= lim 1 (1+ 1)(2 + 1)= 1 n→∞ 6 n n 3
n
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012
nn
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n−1 1 x
n
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思考: 如何用定积分表示下述极限
I
=
lim 1 n→∞ n
⎢⎣⎡sin
2π
n
+
+
sin
nπ
n
+
sin
(n
+ 1)π
n
⎤ ⎥⎦
提示:
∑ I = lim 1 n sin kπ ⋅π
n→∞ π k =1 n n
− lim 1 sin nπ + lim 1 sin (n +1)π
一、引 例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
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一、引 例
矩形面积 = a h 梯形面积 = h (a + b)
2
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 y = f (x) ( f (x) ≥ 0)
及 x轴，以及两直线 x = a , x = b 所围成 , 求其面积 A .
则由性质7 可得
m
≤
b
1 −
a