3．2
第一课时
导数的运算
常见函数的导数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习目标 1.能根据定义求函数 y＝kx＋b，y＝c，y 1 ＝x，y＝x ，y＝ 的导数． x
2
2． 掌握常见的基本初等函数的导数公式， 并能求简单函数的导数．
课前自主学案
3．2.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
4 1．函数y＝(x＋1)2在x＝1处的导数等于___.
【规范解答】 为(1,1)．
1 y1＝ ， x 由 2 y ＝ x ， 2
解得交点
1 1 y′1＝(x)′＝－ 2， x ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在 (1,1)处的切线方程为 y － 1＝ 2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 1 别为(2,0)，( ，0)． 2 1 1 3 ∴所求面积 S＝ ×1×(2－ )＝ .14 分 2 2 4
【名师点评】 用求导公式求函数的导数更 加简捷，做题时，注意结合图形求面积．
自我挑战2 点P是曲线y＝ex上任意一点， 求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与 曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0) 处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，y0＝1，即 P(0,1)． 2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
知能优化训练
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【名师点评】 记住基本初等函数的求导公 式，是计算导数的关键，特别注意各求导公 式的结构特征，弄清(lnx)′与(logax)′和 (ex)′与(ax)′的差异，防止混淆，对于不具 备基本初等函数特征的函数，应先变形，然 后求导．
利用导数求切线的方程 求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时，首先要判断这 个点的位置，即在不在曲线上，因为斜率要 受此影响．
2．导数的几何意义是曲线在某一点处的切线
的斜率．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
3x－y－2＝0 ____________.
1．常见函数的导数 (1)(kx＋b)′＝__( k k，b 为常数)； (2)C′＝__ 0 (C 为常数)； (3)x′＝__ 1； (4)(x )′＝____ 2x ； 3x2 ； (5)(x3)′＝____ 1 1 － 2 (6) ′＝ ____ ； x x 1 2 x . (7)( x)′＝____
2
2．基本初等函数的导数 α· xα－1 α 为常数)； (1)(xα)′＝_______( (2)(ax)′＝_______ axlna (a>0，且 a≠1)； 1 1 log e (3)(logax)′＝ _______ xlna a>0 ， x a ＝ _______( 且 a≠1)； (4)(ex)′＝___ ex ； 1 (5)(lnx)′＝___ x ； (6)(sinx)′＝_____ cosx ； (7)(cosx)′＝_______. －sinx
例1 求下列函数的导数：
1 5 3 (1)y＝x x；(2)y＝ 4；(3)y＝ x ； x x 2 x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式， 并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化 为基本初等函数的导数．
3 3 3 3 【解】 (1)y′＝(x x)′＝(x )′＝ x －1＝ x. 2 2 2 2 1 4 －4 －4－1 －5 (2)y′＝ 4′＝(x )′＝－4x ＝－4x ＝－ 5. x x 3 3 3 3 2 (3)y′ ＝ ( x )′ ＝ (x )′ ＝ x － 1 ＝ x － ＝ 5 5 5 5 5 3 . 5 2 5 x
3
5
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . x· ln2
x 2x (5)y＝－2sin 1－2cos 4 2 x x x 2x ＝2sin 2cos 4－1＝2sin cos ＝sinx， 2 2 2
∴y′＝cosx.
问题探究
下面的计算过程正确吗？ π π 2 (sin )′＝cos ＝ . 4 4 2
π 2 提示：不正确．因为 sin ＝ 是一个常 4 2 π 数，而常数的导数为零，所以(sin )′＝ 4 π 2 0.若函数 f(x)＝sinx，则 f′( )＝ . 4 2
课堂互动讲练
考点突破 求常见函数的导数的方法 求导函数的方法： (1)能直接求导的幂函数、指数函数、对数函 数和三角函数可以直接运用公式求导． (2)不能直接求导函数的，可以先化成幂函数 、指数函数、对数函数或三角函数的运算， 再运用求导运算法则进行求导．
方法感悟
1．求函数的导数
如果已知的函数是常见函数或基本初等函数 ，那么直接利用求导公式计算它们的导数就 行了；如果已知的函数不是常见函数，也不 是基本初等函数，那么只能用导数的定义来 求它们的导数．
2． 利用导数公式求曲线切线方程的步骤为： (1)先根据函数类型求出函数的导数． (2)判断切线所经过的定点(x0，y0)是否在已 知曲线上，当点在曲线上时，k＝f′(x0)． 当点不在曲线上时，应设切点为(x1，y1)，k y1－y0 ＝f′(x1)＝ ，求出切点． x1－x0 (3)写出切线的点斜式方程 y－y0＝f′(x0)(x －x0)或 y－y0＝f′(x1)(x－x0)．
解：设切点为(x0，x2 0)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2. ∴切点为(2,4)．
1 2 例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝ 和 y2＝x x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
【思路点拨】 解答本题，应先通过解方程 组求得两曲线的交点坐标，对函数求导，写 出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点 坐标，即可求得所求三角形的面积．
2
∴切线 3x － y － 2 ＝ 0 与曲线 C 的公共点为 (1,1) ， ( － 2 ，－ 8) ，这说明切线与曲线 C 的 公共点除了切点外，还有另外的点．
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一，可从本例题得证．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5?
例2 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程 ； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他 的公共点？ 【思路点拨】 先求出y＝x3在x＝1处的导 数，再用点斜式求解．
【解】 (1)令 x＝1，则 y＝1，切点坐标为 (1,1)． 2 y′＝3x ，∴y′|x＝1＝3， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2 ＝0. 3x－y－2＝0， 3 (2)由 得 3 x － x －2＝0， 3 y＝x ， 即(x3－x)－(2x－2)＝0. 可分解为(x－1)(x ＋x－2)＝0，解得 x1＝1， x2＝－2.