(2)各观测值Y j j 1,2,,n 之间相互独立； (3)残差 服从均数为 0、方差为 2 的正态分布，
它等价于对于任意一组自变量 X 1 , X 2 , X m ，应
变量Y 均服从正态分布且方差齐。
注意：虽然模型要求因变量是连续数值变量，但对自变量的类型不限。若 自变量是分类变量，特别是无序分类变量，要转化为亚变量才能分析。对 于自变量是分类变量的情形，需要用广义线性回归模型分析。
SS回归=b1l1y+ b2l2y + b3l3y + b4l4y =0.1424×67.6962+0.3515×89.8025+0.2706×142.4347+0.6382 ×84.5570 =133.7107；
ν回归=m=4
多元线性回归分析
1、对模型的假设检验—F检验
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185
= 5.9433
线性回归方程模型为：
Yˆ 5.9433 0.1424X1 0.多3元5线1性5回X归分2析 0.2706X3 0.6382X 4
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
多元线性回归分析
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
多元线性回归分析
多元回归分析数据格式
编号 X 1
X2
┅
1
X 11
X 12
┅
2
X 21
X 22
┅
┇
┇
┇
┇
Xj
┅
X1j
┅
X2j ┅
┇
┇
Xm Y
X 1m
Y1
X 2m Y2
┇
┇
i
X i1
X i2
┅
X ij
┅
X im
Yi
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
┇
n
X n1
Xn2 ┅
Xnj ┅
X nm Yn
注：患者编号为 i (i 1,2,, n) ；变量个数为 j ( j 1,2,, m)
多元线性回归分析
各变量的离差矩阵
多元线性回归分析
求解后得 b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
各变量均值分别为： X1 5.8126 ， X 2 2.8407 ， X 3 6.1467 ， X 4 9.1185 ，Y 11.9259 ， 则常数项：
多元线性回归分析
二、多元线性回归分析的步骤
（一）估计各项参数，建立多元线性回归方程模型 （二）对整个模型进行假设检验，模型有意义的前提下，再分 别对各偏回归系数进行假设检验。 （三）计算相应指标，对模型的拟合效果进行评价。
多元线性回归分析
方程求方组回程中归中：系参数lij 数b1l,的bji2估,计(bXm可的i 用方X最法i )小(X二j 乘X法j )求得X，i X j [(Xi )(X j )]/ n
（二）对模型及偏回归系数的假设检验 1、对模型的假设检验—F检验 2、对偏回归系数的假设检验—F检验和t 检验 3、标准偏化回归系数
多元线性回归分析
1、对模型的假设检验—F检验
检验统计量为 F ： F
SS回归 / m
SS剩余 /( n m 1)
SS回归 为回归项的平方和，反映由于方程中 m 个自变量与因变量Y
是也求就解是正求规liy出方程能(组使X（i估no计Xrmi值)a(lYYeˆqu和aYti实)on际s）：观Xi察Y 值[(Xi )(Y)]/ n
Y的bb11ll误1211 差bb22平ll1222方和Qbbmmll12m（m (Y一l1l2yy）Yˆ)模2 为型最的小参值数估计
的一组回归系数
b1lm1 b2lm2
变量保持不变的条件下，自变量 X改i 变一个单位时因变量Y
的平均改变量。 为随机误差，又称残差（residual），它表
示 的Y变化中不能由自变量
Xii1,2,解 m 释的部分。
多元线性回归分析
y
Y ˆb0b1X1b2X2
x1
x2
多元线性回归分析
应用条件：
多元线性回归模型应满足以下条件：
(1) Y 与 X 1 , X 2 , X m 之间具有线性关系；
多元线性回归分析
一、多元线性回归方程模型
假定因变量Y与自变量 X1,X2,Xm间存在如下关系：
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m
式中， 0 是常数项， 1,2,m 称为偏回归系数（partial regression coefficient）。 ii1,2, m 的含义为在其它自
第十四章 多元线性回归分析
Muቤተ መጻሕፍቲ ባይዱtivariate linear regression
多元线性回归分析
一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
如：
➢人的体重与身高、胸围
➢血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟 状况、家族史
➢糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、血清总 胆固醇、甘油三脂
➢射频治疗仪定向治疗脑肿瘤过程中，脑皮质的毁损 半径与辐射的温度、 照射的时间
b1 ,b2 ,bm
bmlmm lmy
值。
常数项 b0 Y b1X1 b2 X2 ... bm Xm 多元线性回归分析
例14.1
27名糖尿病患者的血 清总胆固醇（x1）、 甘油三酯（x2）、空 腹胰岛素（x3）、糖 化血红蛋白（x4）、 空腹血糖（y）的测量 值列于表中，试建立 血糖与其它几项指标 关系的多元线性回归 方程。
多元线性回归分析
Multivariate linear regression
概念： 多元线性回归分析也称复线性回归分析（multiple linear regression analysis）,它研究一组自变量如何直接影响一个 因变量。
自变量（independent variable）是指独立自由变量的变量，用向量X 表示；因变量（dependent variable)是指非独立的、受其它变量影响 的变量，用向量Y表示；由于模型仅涉及一个因变量，所以多元线性回 归分析也称单变量线性回归分析（univariate linear regression analysis）