xoy平面内的弯曲杆元。
（这里仅指固移力）
xoy平面内的弯曲杆元：
注意下标的变化
N yi M zi 杆元端点力： Fij 这里仅指固移力 N yj M zj
vi zi ij v j zj
单刚
先直接给出本引例单刚，以后再解释由来。
由直接刚度法得来。
（4-2）
单刚
12 2 l ij 6 lij 12 2 l ij 6 lij 6 节点位移 lij v i 2 i 6 vj l ij j 4
F K
( e) ( e) (e)
xoy平面内弯曲杆元的单刚:
6 12 l2 l 6 4 l EI (e) z K l 12 6 2 l l 6 2 l 单刚的性质? 12 6 2 l l 6 2 l 12 6 2 l l 6 4 l
ij jj
分块子矩阵
单刚子块式？
2. 分块子矩阵
6 12 l2 l N yi K 6 ii F 4 M zi EI z l 12 6 N l yj 2 l K l M F ji zj 6 2 l

(4-10)
三.单刚的性质 与分块子矩阵：
1.单刚的性质为：对称方阵、 且对角线上元素为正值。
矩阵分块：
意义？

12 2 l K 6 EI z e l K l 12 2 l K 6 l
ii
l 4 6 2
6
12
l
ji
6 2 l K l 6 2 l 12 2 6 l l K 6 4 l
vi zi ij v j zj
二.杆元的刚度矩阵 （单刚）
（本课重点：xoy 平面内弯曲 杆元的刚度矩阵）
因杆元端点力(这里仅指固移力）与杆 元端点位移（节点位移）间的关系直接利 用位移法中的结果(4-2)得到，故称：
直接刚度法： 由杆系中杆元端点力 （这里仅指固移力）与节点 位移之间的关系式（如公式 4-2），直接写出杆元的刚度 矩阵。
vi ,i
节点位移 杆端位移
v j , j
v j j
节点位移（列）矩阵的子矩阵：
vi i i 其中的元素个数就是
自由度数。
节点位移
vi ,i
v j j j
节点位移（列）矩阵？
基本概念
7. 杆端位移（列）矩阵 ： 对于某一杆元i—j, 其两 端的位移常用矩阵 , 表示，合并写为： i 或 i (e) ij j j
为什么?
（方便：载荷处理，外载荷列阵建立。）
离散： 仅对单元、节点编号即可。
①
②
③
1
3
4
注：该离散结构图，解题时不画。
注意: a. 离散出来的杆件两端应 理解为两端刚性固定； b. 在集中力、力矩作用的 节点也进行离散。
c. 节点是计算位移与建立 平衡方程式的对象，故要把 它们单独分离开； d. 在有支座处的节点，节 点与支座还应分开； e. 解题时只进行单元、 节点编号，不画离散结构图。
注意：固移力 与节点位移 总是一 一对 应的。
j
j
M’ ji
EI , l
vj
二者通过谁联系？
' N ij ’ ' N ij M ij ' 固移力矩阵 N ji M 'ji
N
’ ji
联想一下弹簧受拉压
基本概念
9.杆元刚度矩阵（单刚）： 联系固移力与节点位移 之间的一个矩阵，
基本概念
2.杆元或单元——指每一 个离散出来的杆件。 3.节点——杆件交点、杆 元端点、集中力及力矩 作用点等。
应该还有什么情况？
（截面突变点）
分布载荷突变点
基本概念
4.局部坐标系统——对每 一杆元建立的坐标系统。
基本概念
5.总坐标系统或结构坐 标系统——对杆系（刚 架、板架等）建立的统 一坐标系统。
“杆系有限元法”
以便使大家在学习 了杆系有限元法后，能 够在位移法的基础上不 困难地过渡到 一般有限元法上去。
如：平面应力问题有限元。
位移法
杆系有限元法 （矩阵法）
一般有限元法
杆系有限元法是有 限元理论的入门知识。 因此要求：
1.理解本章基本概念； 2.掌握xoy平面内弯曲 杆元的刚度矩阵。 3.了解杆元刚度矩阵的 性质与分块子矩阵的形 式。
5.由总刚度方程求得节点位移
（即杆端位移）;
6.由杆端位移求出杆元的内力 与变形。
第五章 杆系有限元法
§5.2 杆元的基本类型、 刚度矩阵（单刚）及性 质
重点学习：
xoy平面内的弯曲杆元。
一.杆元的基本类型
（节点位移）
基本杆元类型、端点位移 与杆元端点力 可参考J表7-1学习， 重点关注J表7-1中No3
第五章 杆系有限元法
§5.1 杆系有限元法概述
一.基本概念：
1.离散——假想将杆系“拆” 为一根根杆件称为将结构 “离散”。
具体通过节点、单元编号实现。
“离散”举例：
1
离散出来的杆件两端 应理解为两端刚性固定！
2 3
有支座处的节点，节点与支座还应分开
4
若有刚固端则： 1 集中力或力偶作用的节点也进行离 散。
’ ji
N
固移力
节点位移列矩阵： v
i i ij v j j j
i
N
’ ji
假想将杆元刚固端强制移动时 杆元端点受力。
所对应的固移力列矩阵?
基本概念
8.固移力矩阵： 杆元端点仅因两刚固端 位移（节点位移）发生的力
6 lij 4 6 lij 2
12 2 lij 6 lij 12 2 lij 6 lij
6 lij 2 6 lij 4
注意到新旧符号的关系
M M zi
' ij
N N yi
' ij
M M zj N N yj
' ji
' ji
F
ij
6 12 固移力 l2 l ij ij ' N ij 参见位移法导出 6 ' 4 的公式（ 4-2 ）： M ij EI ij l ij ' 12 6 l N ij ji 2 l ij l ij ' 6 M ji 2 l F K
e ij
（J7-1）
式中的 K 就是杆元刚度矩 阵（单刚）。

e
ij
F K
( e) ( e) (e)
固移力矩阵 单刚
节点位移矩阵
（4-9）
xoy平面内弯曲杆元的单刚:
6 12 l2 l 6 4 EI z l l 12 6 2 l l 6 2 l 12 6 2 l l 6 2 l 12 6 2 l l 6 4 l
i j
节点位移（列）矩阵!
（4-7） 几乘几?
节点位移（列）矩阵:
vi i i ij v j j j
（4-7）
联想一下位移法。
vi
i
i
M
’ ij
EI , l
’ ij 固移弯矩
固移剪力
j
j
vj
M
第五章
杆系有限元法
(矩阵法）
“杆系有限元法”又称 “矩阵法”、“矩阵位 移法”或“直接刚度 法”。
教学内容 ：
§5.1 杆系有限元法概述 §5.2 杆元的基本类型、 刚度矩阵及其性质
教学目的与要求 ： 为了便于以后系统 学习有限元理论，本章 有意识地把矩阵法向有 限元的一些程式靠拢，
不妨将矩阵法称为：
i zi j zj
单刚有以下形式：
由式（4-2）的矩阵式写出：
式中方阵
（J7-4）
12 6 12 6 2 2 l N yi l l vi l 6 M zi EI z 4 2 zi v l N l j yj 12 6 单刚 M 2 l zj l zj 对称 4
三.杆系有限元法主要计算步 骤：
1.写出单刚（子块式、具体式）； 2.组装总刚（用单刚子块式组装）
（此步等同于位移法以各节点为对象建立节点力的平衡方程式组）；
采用：对号入座法！
3.写出总刚度方程； 4.对总刚度方程进行约束处 理；
或:
3.对总刚进行约束处理； 4.写出总刚度方程；
（按约束处理后的总刚写出总刚度方程）
式（4-2）的矩阵形式。
12 6 2 lij l ij v i 6 2 i lij 12 6 vj 2 lij lij j 6 4 lij
单刚
单刚
K
(e)
12 l2 ij 6 EIij lij lij 12 2 lij 6 l ij
节点位移
xoy平面内的弯曲杆元
用途： （1）作为xoy平面内弯曲的 连续梁杆元； （2）参与组建平面刚架杆 元。
注：在有限元法中上述节点位 移和固移力的排列次序一经 确定就不要改变，否则会给 程序设计带来困难。