目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1. 实二次型化简方法 (2)1.1配方法 (2)1.2初等变换法（合同变换法） (3)1.3正交变换法（正交线性替换法） (7)2. 二次型化简在二次曲线上的应用 (11)2.1通过合同变换来化简 (11)2.2通过正交变换来化简 (13)参考文献 (15)实二次型化简及其在解析几何中的应用学生姓名:****** 学号:200950***** 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师:****** 职称:**摘 要:二次型是高等代数的重要内容之一，本文全面概述了化二次型为标准型的方法及其在有关二次曲线的实际例题中的应用．关键词:二次型;标准型;二次曲线;应用Simplification of Real Quadratic Form and its Applicationin Analytic GeometryAbstract: The second type is an important part of higher algebra, this comprehensive overview of the second type of approach for the standard and the actual curve in the second example of the application.Keywords: quadratic form; standard; quadratic curve; application引言二次型是线性代数中一个很重要的知识点．将实二次型化成标准型既是重点又是难点．我们知道，任何一个实二次型都唯一决定一个实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以对角化．因此，每一个实二次型都可以化成标准型．二次型理论源于化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题，故其理论在解析几何上有重要应用．1.实二次型化简方法在实二次型的化简中，我们常常会用到一些常见的方法，如:配方法，初等变换法正交变换法等．以下详细介绍这些方法． 1.1配方法[1]用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形. 情形1 如果二次型12(,,,)n f x x x 含某变量例如1x 的平方项而其系数110a ，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作线性变换111112122n n n ny c x c c x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ ，1(,1,2,,),j c R j n ∈= 得2112(,,)n f d y g y y =+ ，其中2(,,)n g y y 是2,,n y y 的二次型，对2(,,)n g y y 重复上述方法直到化二次型f 为标准型为止．情形2 如果二次型12(,,)n f x x x 不含平方项，即0(1,2,,)ii a i n == ，但含某 一项0()ij a i j ≠≠，则先做可逆线性变换,(1,2,,;,)i i jj i j k kx y y x y y k n k i j x y =+⎧⎪=-=≠⎨⎪=⎩ ， 把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再借用情形1的方法化为标准型．注意 为了写出化二次型为标准形所用的可逆线性变换，对情形1中的线性变换应写出它的逆变换（即用i y 表示出i x ），再将化简过程中每一步的线性变换进行复合，得到总的线性变换．例1 用配方法化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换，2212312121323(,,)3242f x x x x x x x x x x x =++++．解 用配方法有2211232232(2)32f x x x x x x x =++++[]22212313323(2)(2)32x x x x x x x x =++-+++2221232233(2)2x x x x x x x =++--- 令112322332y x x x y x y x=++⎧⎪=⎨⎪=⎩， 即112322332x y y y x y x y=--⎧⎪=⎨⎪=⎩， 得22222122331232()y y y y y y y y ---=-+．令1122333z y z y y z y=⎧⎪=+⎨⎪=⎩， 即1122333y z y z z y z=⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 得2212f z z =-， 所用的可逆线性变换为112322333x z z z x z z x z=--⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 即112233*********x z x z x z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 这里111011001C --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 因为10C =≠，故C 可逆． 1.2初等变换法（合同变换法）[ 2 ]用可逆线性变换X CY =化二次型'f X AX =为标准形，相当于对于对称矩阵A找一个可逆矩阵C ，使'C AC D =为对角矩阵，其中D 的形式如下00D λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．由于可逆矩阵C 可以写成若干初等矩阵12,,,S P P P 的乘积，即12S C PP P = ，从而有'''2112S S P P P APP P D = ，12S EPPP C = ．根据初等矩阵的有关性质（用初等矩阵对A 左乘或右乘，相当于对该矩阵做初等行变换或初等列变换），由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤．首先，写出二次型f 的矩阵A ，并构造2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭．其次，对A 进行同步的初等行变换和初等列变换，把A 化成对角矩阵D ，并对E 施行与A 相同的初等列变换化为矩阵C ，此时'C AC D =．最后，写出可逆变换X CY =，化二次型为标准形'f Y DY =．例2 用初等变换法把下列二次型经过非退化线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性替换[3]．123121323(,,)3f x x x x x x x x x =+-．解 123(,,)f x x x 的矩阵是110221302213022A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 用矩阵做同步的初等行变换和初等列变换，有(1)(2)1111101222213130022221313002222100100010010001001A E +⨯⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪⎪⎛⎫=−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)(2)11112130223102100110001+⨯⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪−−−−→ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1(2)(1)()2+⨯-−−−−−→(3)(1)11(2)(1)()2110110111211010114401411001131110101022210011101011022001001001+⨯+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪---- ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪---- ⎪ ⎪⎪−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)(1)1+⨯−−−−→(3)(2)(4)(3)(2)(4)100100100111010100444011003003111111113222111111111222001001001+⨯-+⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪--⎪⎪ ⎪−−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故1001004003D ⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭，11321112001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 令X CY =，其中112233,X x Y y x y ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2221231231(,,)34f x x x y y y =-+． 所做的非退化线性变换X CY =即为112321233313212x y y y x y y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=+-⎨⎪=⎪⎪⎩． 注 记号写在箭头上方表示进行初等行变换，记号写在箭头下方表示进行列等行变换．如，(1)(2)3+⨯−−−−→表示第二行各元素的3倍加到第一行对应的元素上去，(3)(1)1+⨯−−−−→表示第一列各元素的1倍加到第三列对应的元素上去． 例3 用非退化的线性替换化二次型123121323(,,)4412f x x x x x x x x x =+-为标准 形．（合同变换法）[4]解 写出f 的矩阵A ，再作矩阵(,)A E ，且对其用合同变换和初等变换有022100224110424110(,)206010206010206010260010260001460001A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭42411042411011110140016022220441010012311--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 取'11011022311P ⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭， 则'0100012P AP ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，令X PY =，得222123412f y y y =-+． 1.3正交变换法（正交线性替换法）[5]用正交线性变换X CY =化二次型'f X AX =为标准形，相当于对于对称矩阵A 找一个正交矩阵C ，使'C AC D =为对角阵．而这是可以实现的，具体步骤如下 第一步，写出二次型f 的矩阵A ，第二步，求出A 的全部互不相等的特征值12,,,s λλλ ，它们的重数依次是12,,,s k k k 12()s k k k n +++= ，第三步，对每个i k 重特征值i λ，求方程()0i A E X λ-=的基础解系，得i k 个线性无关的特征向量．再把它们正交化、单位化，得i k 个两两正交的单位特征向量．因为12s k k k n +++= ，总共可得n 个两两正交的单位特征向量，第四步，把这n 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵C ，便有'C AC D =．注意 D 表示对角阵，对角线上的元素是A 的特征值，且D 中对角元的排列次序与C 中列向量排列次序相应．例4 求一个正交变换X CY =，把二次型121323222f x x x x x x =-++化为标准形． 解 第一步，二次型的矩阵为011101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，第二步，A 的特征多项式为1111011111111A E λλλλλλλλ-----=--=---- 2210111(1)(2)(1)(2)12λλλλλλλλ-=---=-+-=--+-． 求得A 的特征值为1232,1λλλ=-==，第三步，对应12λ=-，解方程(2)0A E X +=， 由2111012121011112000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，将1ξ单位化，得1111p -⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭． 对应231λλ==，解方程()0A E X -=， 由111111111000111000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系23111,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将23,ξξ正交化，取[]2323223322211111,111,0,0112201102ηξξξηξηξηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 再将23,ηη单位化，得23111,202p p -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭⎭． 第四步，将1,23,p p p 构成正交矩阵123()0C p p p ⎛ == ⎝， 于是正交变换为1122330x y x y x y ⎛ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝， 且有2221232f y y y =-++． 例5 用正交线性替换化二次型22212,3112132233(,)244585f x x x x x x x x x x x x =+-+-+ 为标准形[6]．解 所给二次型的矩阵为222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则2(10)(1)E A λλλ-=--，A 的特征值为12310,1λλλ===．当110λ=时，相应的其次线性方程组(10)0E A X -=的基础解系为1(1,2,2)η=--;当231λλ==时，相应的其次线性方程组()0E A X -=的基础解系为23(2,1,0),(2,0,1)ηη=-=．这样，123,,ηηη作为3R 的基，易知其格兰姆矩阵为900054045G ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，作矩阵(,)G E ，且进行合同变换，1100003900100(,)054010010000450010010G E ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝， 取可逆矩阵'1003000P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝， 则1003000P ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 用P 和12,3,ηηη作新基12312,3(,,)(,)P αααηηη=，易知1122(,,)333α=--，2(α=，3α=．由上可知123,,ααα为3R 的标准正交基，则矩阵123(,,)U ααα=为正交矩阵，且具有'1011U AU ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，作正交线性替换X UY =，则得f 的标准形22212310f y y y =++． 2.二次型化简在二次曲线上的应用二次型理论源于化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，其理论在解析几何上有重要应用．任一个实对称矩阵都可化为对角形，则任一条二次曲线可通过坐标变换化为标准形式．化二次型为标准形可通过合同变换和特征根两种方法，相应的二次曲线就可以通过合同变换和正交变换来化简． 2.1通过合同变换来化简[7]合同变换，几何中也叫仿射变换，实在不注重研究曲线几何性质的情况下用的一种方法，利用仿射变换化二次曲线为标准方程，使得化简、作图以及度量分类简捷地一起完成．例6 化简二次曲线方程22240x xy y x y -++-=． 解 因为2111321014412I -==-=≠-， 故该曲线为中心二次曲线.解方程组121(,)1021(,)202F x y x y F x y x y ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩， 得中心坐标为0,2x y ==，取(0,2)为新原点，作移轴''10001210011x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则原方程变为22''''''''11121001001(1)010120124020210011120x x y y x x y y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭， 利用仿射变换的方法消去乘积项''x y ，任取一方向(11)，设其共轭方向为(1)k ， 则满足1112(11)0112k ⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭， 解得1k =-，作转轴'""'""x x yy kx y⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 方程即为22""""""11021101101(1)110101103402001001104x x y y x y ⎛⎫- ⎪⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭， 即22""11434x y -+=⨯． 故原二次曲线是一个椭圆． 2.2通过正交变换来化简[8]利用高等代数里所学知识:化一个二次型为标准形通常用特征根法．相应的将一条二次曲线化为标准型可以用正交变换，用它来化出的标准型是唯一的．有利于对其几何性质的研究．例7 化简二次曲线方程22240x xy y x y -++-=． 解 因为2111321014412I -==-=≠-， 故该曲线为中心二次曲线.解121(,)1021(,)202F x y x y F x y x y ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩， 得中心坐标0,2x y ==，取(0,2)为新原点，作移轴''10001210011x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则原方程变为22''''''''11121001001(1)010120124020210011120x x y y x x y y ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭， 求得矩阵112112B ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭的特征值为 1231,22λλ==，对于132λ=，其单位正交的基础解系为-， 对212λ=，其单位正交的基础解系为， 作0001T ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由转轴公式'"'"11x x y T y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化为22""11883x y -+=⨯． 结束语经过多方面的查找资料，将关于二次型化简及其在解析几何中应用的内容作了比较系统的总结，并从中学到了很多东西，对二次型的有关内容有了更加深刻的理解．参考文献:[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M ].北京:高等教育出版社，2003. [2] 李五明，张永金，张栋春.实二次型化成标准形的几种方法[J].和田师范专科学校学报:汉文综合版，2007.[3] 徐仲等，高等代数导教导学导考[M].西安:西北工业大学出版社，2004. [4] 潘懋元.新编高等教育学[M].北京:北京师范大学出版社，1996.[5] 同济大学应用数学系.线性代数(四版)[M].北京:高等教育出版社，2003. [6] 张禾瑞，郝鈵编.高等代数[M](第3版).北京:高等教育出版社，1983.[7] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M ].北京:高等教育出版社，2000. [8] 江苏师范学院数学系《解析几何》编写组.解析几何[M ].北京:高等教育出版社，1998.。