第一章绪论设x>0,x 的相对误差为｛，求Inx 的误差.设x 的相对误差为2%,求x"的相对误差.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字：X ； = 1.1021, Xo = 0.031,%3 = 385.6, x ； = 56.430, x ； = 7x1.0.利用公式(3.3)求下列各近直的误差限：计算到Zoo .若取^783 ^27. 982 (五位有效数字),试问计算乙。

将有多大误差？ 求方程X 2-56X + 1 = 0的两个根，使它至少具有四位有效数字(^783 ~27. 982).当川充分大时，怎样求加1 + f ?正方形的边长大约为100 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm? ?设 2 假定&是准确的，而对r 的测量有±0.1秒的误差，证明当打曾加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.序列｝满足递推关系儿=1°儿-一1(n=l, 2,…)，若％ =血心141 (三位有效数字), 计算到X 。

时误差有多大?这个计算过程稳定吗？计算/ = (V2-1)6；取迈心1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？/•(x) = ln(x -二I),求并30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式ln(%_ Jx 2 -1) = _ln(x + yjx 2 +1)计算.求对数时误差有多大？(x 1+101°^2=1010;已知三角形面积 2 其中c 为弧度，2，且测量a ,b ,c 的误差分别为△a,血Ac.证明面积的误差Av 满足S = -gt试用消元法解方程组假定只用三位数计算，问结果是否可靠?计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 设人=28,按递推公式第二章插值法根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令匕(X )*_i (Xo ，Xi ， ,X”_J(X_Xo ) (x_x”_i )当.¥= 1 , -1,2时,/(x)= 0 , -3,4 ,求/(>)的二次插值多项式. 给岀几t)=lnx 的数值表用线性插X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144求cos x 近似值时的总误差界.设Xj为互异节点(戶)，1,…，”),求证:工 X./. (x) = x k (k = 0,1,, “);i)切律任)三0伙= 1,2,ii) >° ，设畑乂2丽且/⑷=/(斫0,求证嘿声⑴叫(i)2嗨『创 在-4<%<4上给出/W =『的等距节点函数表.若用二次插值求『的近似值.要使截 断误差不超过10",问使用函数表的步长h 应取多少？若儿=2",求心及&儿.如果/(X )是加次多项式，记纣(劝=/任+〃) — /(*)，证明/(x)的£阶差分AV(x)((^ k< m 是m-k 次多项式，并且△ m+7w=o (/为正整数). 证明 ggk) = fASk + gk+Wk.〃一1〃一1^jfk^Sk =fnSn ~ foSo ~ 工 gp+lA/jr 证明7上=0n-1=Ay…-Ay ().证明若 /(.r) = «0 +^%+ + a n _x x n ~' + a n x n有”个不同实根斗,*2，证明15. 证明"阶均差有下列性质：1)若F(x) =(/(%)侧尸［兀,西，，暫］=</［兀，召，，兀”］；⑵若 F(x) = /(x) + g(x)侧 F ［x (),召，，£］ = /［毛,西，，x”］ + g|%o ，X ］, ,x…］16. /(劝"+八 3卄1,求/［2°2及/［2。

,2［ ,2尊.17. 证明两点三次埃尔米特嗨值余项是R 3(x) = f ⑷ ©(x - 兀尸(X _ %］尸 / 4!,紀(％ %］) 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.刁一1，1 1证明％(x )是"次多项式，它的根是心，山”-1,且-S,-iX4, X 2设忑=兀+肋,扫o,l, 2, 3,求宀 #2(X )|0,0<A ：<H -2;,k=n —l.18.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足AO) = P(-々 + 1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P。

),以便使它能够满足以下边界条件P(O) =P'(O)=O P(l) = P f(l) = 1 P(2) = 120.设/(力w °国列,把［⑦列分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数必⑴ 并证明当"T 8时,申”(X)在［⑦列上一致收敛到f(X).21.设f°)= 1/(1 + X)，在-5<%<5±取“ =10，按等距节点求分段线性插值函数厶°), 计算各节点间中点处的厶°)与/(X)的值,并估计误差.22.求/O)= *在［°问上的分段线性插值函数厶⑴,并估计误差.23.求/W 在［⑦列上的分段埃尔米特插值，并估计误差.试求三次样条插值SO)并满足条件门S'(0.25) = 1.0000, S'(0.53) = 0.6868;⑵S"(0.25) = S"(0.53) = 0.25.若/(X)e/［"，切少兀)是三次样条函数，证明D ［［/©)］认-］［S3］认=［［广3 - S3］认+2［ S3 ［厂⑴-S3 比ii)若/U)= S3)(心0,1,必)，式中兀为插值节点，且« =<£=冬则f S0)［广 3 - S0)冶=S"⑹［f\b) - S©)］ - S"(a)［广(a) - S，(a)］26.编出计算三次样条函数S(Q系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(Q可用©7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1.(a)利用区间变换推出区间为［⑦列的伯恩斯坦多项式.(b)对fM = sinx在［0,兀/2］上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画岀图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.求证：m < /(x) < M 时,m < B n(/, x) < M .⑹当 /(%) = x 时,B n (/, x) = x 在次数不超过6的(a)当多项式中，求/U) = sin4x在［0,2疋］的最佳一致逼近多项式. 假设/(X)在［°'列上连续，求/°)的零次最佳一致逼近多项式.max x3 - ox选取常数Q ,使o^<i I I达到极小，又问这个解是否唯一？求/(x) = sinx在［0,兀/2］上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.求/W =『在［°，1］上的最佳一次逼近多项式.如何选取r，使卩⑴= %2 + r在［71］上与零偏差最小？r是否唯一？设f(x) = x4 + 3x3 -1，在［0,1］上求三次最佳逼近多项式.令T n (x) = T n (2x-1),XG［0,1］,求T* (x), T； (x), T； (x),§ (x)在［一1，1］上利用插值极小化求1 /O) = 的三次近似最佳逼近多项式.设/(x) = e*在［-1,1］上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L”(x)，若II/-4I8有界, 证明对任何存在常数5、卩”.使项式并估计误差.在［一1，1］上利用幕级数项数求/(*)= sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005./(力是［一⑦可上的连续奇(偶)函数，证明不管"是奇数或偶数,/(力的最佳逼近多项式F：(x)wH”也是奇(偶)函数.求a、0使+ sinx"为最小.并与］题及&题的一次逼近多项式误差作比较./■(*)、gWeC1［a,b］ ^义cb (*b(a)(/,g)=J 广(x)g，(x)dx;@)(/,g) = J 广(x)g，(x)dx + /(a)g(a);J a J a问它们是否构成内积？「^-dx用许瓦兹不等式(4.5)估计J(,l + x “的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界, 并比较其结果.选择化使下列积分取得最小值JZ^2)2则A"他设空间9 =$皿"{1，丹，申2 "卩初忖“,*1］,分别在<P1、也上求出一个元素，使得其为X wC［O,l］的最佳平方逼近，并比较其结果.22./(劝胡在［71］上求在◎上的最佳平方逼近.sin［(n + l) arccos x］"” (x) = ―-—1=^ ------------ -23.V1-X- 是第二类切比雪夫多项式.证明它有递推关系"”+i (x) = 2m” (x)-zvj(x)24.将在［一1」］上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画岀误差图形.再计算均方误差.25.把/(%)= ^ccosx在［71］上展成切比雪夫级数.26.27.2:29.编岀用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改进FFT算法的程序框图.31.现给出一张记录{无卜{4,321,0丄2,3},试用改进FFT算法求出序列{曲的离散频谱{CJ (^ = 0,1, ,7).第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：ph« A.JC-A) + 4/(0) + A,/(A)(1)J-" ;r2hJ f(x)dx «+ 4/(0) + A,/(/2)£ f(x)dx «［/(-l) + 2/3) +3/(吃)］/3⑷］f{x)dx « h［7(0) + 7(/2)］/l + ah2［广(0)-广(力)］2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：f1 X o fi(l-e')21A— x, n = 8 ------------- dx, n = 10 (l)Jo4 + .r ；⑵ 5 x ；(3) Ji 長吐n = 4 ⑷J-sZ (pdx,n-63.直接验证柯特斯公'式(2.4)具有5次代数精度.Ce x dx4.用辛普森公式求积分并计算误差.5.推导下列三种矩形求积公式：f f(x)dx = (b- a)/(a) + (b-a)2(l)Jfl 2 ;「f{x)dx = (b-a)f(b) - - (b-a)2『f(x)dx = (b —(b - af⑶2 24rb6.证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当"T8时收敛到积分L /(X)"：pb7.用复化梯形公式求积分'«问要将积分区间［%】分成多少等分，才能保证误差不超过& (设不计舍入误差)？&用龙贝格方法计算积分五，要求误差不超过10「'.S = tzpJl-(-)2sin20J09.卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是Jo V a，这里Q是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记力为近地点距离,H为远地点距离,7?= 6371公里为地球半径^a^(2R + H + h)/2,c = (H-h)/2^国第一颗人造卫星近地点距离h = 439公里，远地点距离H = 2384公里，试求卫星轨道的周长.3 5.n n nzz sin.——兀------------- 1--------------10.证明等式n 3\n- 5!/?4试依据加11(兀/")(7*3,6,12)的值，用外推算法求兀的近似值.H.用下列方法计算积分| 丁并比较结果.(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式./(X)=——-—712.用三点公式和五点公式分别求(1 +力「在x = 1.0,l.l和1.2处的导数值，并估计误第五章常微分方程数值解法1.就初值问题V’ = ax + b,y(O) = °分别导岀尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达1o , y = —ax +bx 式，并与准确解2 相比较。