qi2 ,
i= 0
k ９q, k k = 0, 其它.
0,
知，对于 MA(q) 模型，其 ACF 在 q 次滞后以后变为零。它显然是一个平稳模型。
例 3.1
考虑 MA(1) 模型 Yt = Zt - q1Zt- 1 。它的相关函数满足
ì 1, ï ï ï r Y (k ) = ï í - q1 (1 + q12 ), ï ï ï ï î 0, k = 0, k = 1, 其它.
3.1 简介
本章引入了时间序列分析常用的几个概率模型。假定所要研究的序列已 经用前两章介绍的方法剔除了趋势。粗略地说，存在三种模型：滑动平均模 型(MA)；自回归模型(AR)和自回归滑动平均模型(ARMA)。它们用来描述平稳 时间序列。此外，因一些类型的非平稳性可以用差分的手段来处理， 滑动平均模型 设 {Zt } 是具有均值为零方差为 s 2 的独立同分布的随机变量序列并用
Zt : i.i.d.(0, s 2 ) 表示之。假如我们只要求 {Zt } 是不相关的而不必是独立的，
则 {Zt } 有时被称为白噪音序列并用 Zt : WN(0, s 2 ) 表示之。从直观上说，这 意味着序列 {Zt } 是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用
q(B) = 1+ q1B + L + qq Bq 而 BZt = Zt- 1 。 {Yt } 可逆的条件由如下定理给出。
定理 3.1 如果方程 q( B) = 0 的根全部位于单位圆之外，那么 MA(q) 模 型 {Yt } 是可逆的。 证明： MA(1) 情形说明了证明思路。 注释：假如一个常数均值 m 加入到方程中，使的 Yt = m+ q( B)Zt ，那么
(3.3)
如果 q1 < 1，方程(3.2)收敛而方程(3.3)发散。当我们想去解释残差 {Zt } 时 ，处理一个收敛的表达式当然是更合意的。因此方程(3.2)更可取。在这种 情形下， MA(1) 模型 {Yt } 被称为是可逆的。
一般地，设 {Yt } 是一个 MA(q) 模型，由 Yt = q( B)Zt 给出，这里
在不同的著作中，关于 AR(一般地，ARMA)模型的平稳性和因果性的 概念似乎存在着混淆。本节我们来澄清这种模棱两可的情况。
主要问题：AR(p)总是存在的吗？
为了回答这个问题，考虑简单的 AR(1)情形：
Yt = f Yt- 1 + Zt , Zt : WN(0, s 2 )
(3.4)
迭代这个方程，有 Yt = Zt + f Zt- 1 + L + f k + 1Yt- k- 1 。
问题 1. 我们可以找到满足方程(3.4)的平稳过程吗？ 首先，假如这样的过程 {Yt } 的确存在，它会是怎样的呢？ ·既然 {Yt } 满足方程(3.4)，它必须有如下形式：
考虑另一个 MA(1) 模型
X t = Zt 1 Zt- 1 q1
那么有 r X (k ) = r Y (k ) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
更可取呢？
为了回答这个问题，倒过头来将 {Zt } 用数据来表示。对于数据集 {Yt } ，残差
(3.1)
此模型称为 q 阶滑动平均模型并记为 MA(q) 。
命题 3.1 (i) (iii)
设 {Yt } 是(3.1)式给出的 MA(q) 模型。那么
2 EYt = 0 ； (ii) var Yt = (1+ q12 + L + qq )s 2 ；
ì 0, ï ï ï q- k cov(Yt , Yt + k ) = ï í 2 ï s å qi qi+ k , ï ï ï î i= 0
EYt = m ，但是，自协方差函数保持不变。
3.3 自回归模型 另一类常用的模型是自回归(AR)模型。AR 模型之所以有吸引力是因为它 很类似于传统的回归模型。当我们用时间序列的过去(滞后)值代替经典回归 模型中的预测子后，我们就得到了一个 AR 模型。因此我们有理由料想为经典 回归导出的大部分统计结果可以不做什么修改就推广到 AR 情形。情况确实 如此并且正因为这个原因，AR 模型已经成为最常用的线性时间序列模型之一. 形式上，AR(p)模型 {Yt } 可以写为 f ( B)Yt = Zt ，这里 f (B) = (1- f 1B - L - f p B p ) ，
k > q, k £ q.
证明： cov(Yt , Yt+ k ) = E(YY t t+ k )
= E(Zt + L + qq Zt- q )(Zt + k + L + qq Zt + k- q )
=s
2
å
q- k
qiqi+ k ,
其中, q0 @1.
q
i= 0
观察公式
q- k ì ï ï qi qi+ k ï ï邋 i= 0 r (k ) = ï í ï 1, ï ï ï 0, ï ï î
{Zt } 可以写为
Zt = Yt + q1Zt- 1 = Yt + q1 (Yt- 1 + q1Zt- 2 )
= Yt + q1Yt- 1 + q12Yt- 2 + L
(3.2)
对于数据集 {X t } ，残差 {Zt } 可以写为
Zt = X t + 1 1 1 Zt- 1 = L = X t + X t- 1 + 2 X t- 2 + L q1 q1 q1
{Zt } 表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt : WN(0, s 2 ) 或者意味着
Zt : i.i.d.(0, s 2 ) 或者意味着 {Zt } 是具有均值为零方差为 s 2 的不相关的随机变
量序列。用 {Zt } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
Yt = Zt + q1Zt- 1 + L + qq Zt- q , Zt : WN(0, s 2 )
BYt = Yt- 1 。于是， Yt = f 1Yt- 1 + L + f pYt- p + Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1
称 {Yt } 为 AR(p)过程，如果
(i) {Yt } 是平稳的； (ii) 对所有的 t ， {Yt } 满足 f ( B)Yt = Zt 。
3.3.1 因果和平稳二象性