Xt = t ， t ~ N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。
由定义知：白噪声序列是平稳的。
另一个简单的随机时间列序被称为随机游走 (random walk)，该序列由如下随机过程生成：
Xt = Xt-1 + t 这里，t 是一个白噪声, t ~ N(0,2)。
该序列 同均值，但方差不同：
就是平稳的。 如果Yt 是二阶齐次非平稳过程，则序列：
Wt = Yt − Yt-1= 2Yt 就是平稳的。
5. 单整与非单整
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列，也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。
残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪 回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性 水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非 平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反 映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅 仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明 模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变 量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分 ，以使残差序列达到平稳。
• E(Xt ) = E(Xt -1)
X1 = X0 + 1 X2 = X1 + 2 = X0 + 1 + 2
……
Xt = X0 + 1 + 2 +… + t
• var(Xt ) = t2， Xt的方差与时间 t 有关，而非常
数，因此随机游走是非平稳序列。
4. 齐次非平稳过程
对随机游走序列Xt取一阶差分(first difference)：
2. 差分平稳过程
非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算， 得到具有平稳性的序列，考虑下式
(*)
也可写成： 其(**中) a 是常数, ut 是一个白噪声序列。式(*)的差分 序列是含漂移 a 的随机游走，说明 yt 的差分序列 yt是平稳序列。 （**）式中L表示滞后算子。
实际上，以往讨论的回归方程的序列自相关 问题暗含着残差序列是一个平稳序列。因为如 果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量 除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部 分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越 大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不 能够用来预测未来信息的。
由于 t 是一个白噪声，则序列{ΔXt }是平稳的
。这提示我们如果一个时间序列是非平稳的， 常常可以通过取差分的方法形成平稳序列。
如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多 次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列 的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平 稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。
如果Yt 是一阶齐次非平稳过程，则序列： Wt =Yt −Yt-1= Yt
1. 时间序列的平稳性
假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即 假定时间序列Xt的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果时间序列Xt 满足：
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有
• 为了检验自相关函数的某个数值 ρk 是否为0， 可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白
噪声生成，则对所有k > 0， k ~ N(0, 1/T )
• 为了检验所有k > 0的自相关函数 ρk 都为0的联 合假设，可以采用Box-Pierce的Q 统计量：
• Q 统计量近似地服从自由度为k 的 分布。如 果计算出Q 值大于显著性水平 α下的临界值，就
以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定， 则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重 要问题。
对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现， 如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的， 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随 机误差项仍然满足极限法则。
3. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列：
• I(0)代表平稳时间序列。
• 多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单 整的(non-integrated)。
6. 自相关函数、Q统计量
随机时间序列Yt 的自相关函数(autocorrelation function, ACF)：
k=k / 0
自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
对一个随机过程只有一个实现(样本), 因此， 只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation function)：
关，与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而 该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
2. 平稳性与经典回归
经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机 抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项 满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而 进行的参数估计和统计推断是可靠的。
有1-α的把握拒绝所有k (k > 0)同时为0的原假设
。
二、趋势平稳与差分平稳随机过程
1. 确定性时间趋势
描述非平稳经济时间序列一般有两种方法，一 种方法是包含一个确定性时间#43; t 是线性趋势函数。
这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(*)
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
(**)
t = 1, 2, , T 同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。
自回归移动平均模型
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
前提假设：时间序列是由某个随机过程 (Stochastic process) 生成的。即，假定序列 X1,X2,…,XT 的每一个数值都是从一个概率分布中 随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就 得到该随机过程的一个可能结果或实现 (realization)。