2020-2021年度第一学期阶段检测
高三数学试题
2020.12
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）．
1．设集合{}
2log 2<=x x M ，集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
<=8)2
1(x
x N ，则（ ▲ ） A ．φ=N M
B ．N M ⊆
C ．{}
43<<-=x x N M D ．M N ⊆ 2．已知复数i
z -=12
，则z =（ ▲ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
3．设R x ∈，则“83
>x ”是“2>x ” 的（ ▲ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体。
由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种。
如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体。
古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体（后人称为“阿基米德多面体”）。
现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿
注意事项
1．本试卷满分为150 分，考试时间为120分钟。
2．答题前，请务必将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。
3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效。
第4题
基米德家族种的一个，又名截角四面体。
设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为（ ▲ ）
A. 320
B. 324
C. 328
D. 332 5．现代健康生活的理念，每天锻炼1小时，健康工作50年，幸福生活一辈子。
我国每所学校都会采取一系列措施加强学生的体育运动。
在某校举行的秋季运动会中，来自同一队的甲乙丙丁四位同学参加了1004⨯米接力赛，则甲乙互不接棒的概率为（ ▲ ） A.
61 B. 31 C. 21 D. 3
2 6．已知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，点M 是圆上的一动点，则MB MA ⋅的取值范围是（ ▲ ）
A. []0,1-
B. []3,1-
C. []3,0
D. []4,1- 7．“白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼”，古诗《登鹳雀楼》是一首登高的名作，诗人王之涣描绘了一幅美妙的山水画，从此也令鹳雀楼名声大作，世人也能领略鹳雀楼之美。
鹳雀楼有有三层，前对中条山，下临黄河，传说有鹳雀在此停留。
下面是复建的鹳雀楼的示意图，游客（视为一质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为030，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为045，若AC BC 2=，则鹳雀楼的高AB 约为（ ▲ ）（ 1.733≈） A ．65 米
B ．74米
C ．83米
D ．92米
8．已知实数R c b a ∈,,，满足
0ln ln )2ln(<-==c
c
b b a a ，则
c b a ,,的大小关系为（ ▲ ） A ．a b c >> B ． b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>
第7题
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．已知双曲线1222
22=-k
y k x ，对于∀R k ∈且0≠k ，则下列四个选项中因k 改变而变化
的是（ ▲ ）
A. 焦距
B. 离心率
C. 顶点坐标
D. 渐近线方程 10．已知函数)3
2sin(31)(π
+=
x x f ，则下列说法中正确的是（ ▲ ） A. )(x f 的最小正周期为π B. )(x f 在⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡12712ππ，上单调递增 C. )0,65(
π是)(x f 的一个对称中心 D. 当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈6,0πx 时，)(x f 的最大值为1 11．设),0(,+∞∈y x ，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（ ▲ ） A. 若1=P ，则S 有最小值2 B. 若P S 2=，则S 有最小值4 C. 若P
P S 12
+
=，则2
S 有最小值2 D. 若3=+P S ,则P 有最大值1 12．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点（不含端点
），则下列说法中正确的是（ ▲ ）
A. 平面P D A 11⊥平面AP A 1
B. 多面体1CDPD 的体积为定值
C. 1APD ∆恒为锐角三角形
D. 直线P D 1与BC 所成的角可能为6
π
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）. 13．已知数列{}n a 满足0>n a ，且11=a ，)(22
12
1*++∈=-N n a a a a n n n n ，则=n a
▲ ．
14．某校科学社团研究一种卫星接收天线，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为m 8.4，深度为m 1，则该抛物线的焦点到
顶点的距离为 ▲ m ．
15．将函数12sin sin 2)(2
-+=x x x f 图像先向左平移
4
π
个单位，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)(x g 的图像，若)4
,4(21)(π
παα-∈=，g ，则
=αcos ▲ ．
16．已知球O 为棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则平面11CD B 截球O 的截面面积为 ▲ ．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）
请从下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解决该问题 ①△ABC 的面积为315; ②2
6AB AB BC +⋅=-
在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为.,,c b a 已知2=-c b ，A 为钝角，15
sin A = .
(1)求边a 的长； (2)求C 2sin 的值.
第14题
已知数列{}n a 是等差数列，且32=a ，47a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
()*1
1
2
n n S b n N =-∈.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）记n n n b a c =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：2<n T .
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是菱形，G 、P 是线段AB 、SD 的中点。
（1）证明：//GP 平面SBC ； （2）若3
π
=
∠BAD ，62====SD SB SA AB ，，求平面SBC 与平面SGD 所成锐
二面角的余弦值．
第19题
苏果超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位℃）有关。
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)25,20，需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为420（单位：瓶）时，求Y的期望值.
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点坐标为F 1,0（），其左右顶点分别为
A ，
B ，点M 3
12
（，）在椭圆E 上， （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若过点(4,0)P 的直线l 与椭圆E 交于,C D 两点，,AC BD 交于点T , 求AT AP ⋅的值.
22．（本题满分12分）
已知函数x x f ln )(=，函数.)1()(sin 2
x
e x x g +=
（1）求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；
（2）当),0(+∞∈x 时，证明：当2≤m 时，).()1(x g x mf ≤+。