江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为ι，则点F到直线ι的距离为A. B. 1 C. 2 D. 42. 已知向量=（-2，3，-1），=（4，m，n），且//，其中m，n∈R，则m+n=A. 4B. -4C. 2D. -23. 若sinθ=2cos（π-θ），则tan（θ）的值为A. 3B.C. -3D.4. 在平面直角坐标系xOy中，若椭圆C：与双曲线T：1有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为A. y=±xB. y=±xC. y=±4xD. y=±2x5. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y 轴上，则圆C的方程为A. x2+y2+6y-16=0B. x2+y2-6y-16=0C. x2+y2+8y-9=0D. x2+y2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60º角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 2B. 2C. 4D. 47. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=60º，∠BAC=90º，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为A. B. C. D.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB.若α//β，m⊥α，则m⊥βC.若m//α，m⊥β，则α⊥βD.若m//α，m//β，则α//β10. 在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上. 若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线ι1，ι2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到ι1，ι2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A.距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线ι1：x+ay=0和直线ι2：2x-（a-3）y-4=0，a∈R.若ι1与ι2平行，则ι1与ι2之间的距离为________.14. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B（2，a，0），C（1，a，-2）满足，则实数a的值为________.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，则四面体PABC的外接球的表面积为________.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同. 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在①sin（A-B）=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC的面积S=（a2-b2-c2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，D是边BC上的一点，∠BAD=，且b=4，c=2，求线段AD的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆F：（x-2）2+y2=1，动圆M与直线ι：x=-1相切且与圆F外切. （1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）已知A（-2，0），曲线C上一点P满足PA=PF，求∠PAF的大小.19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC中点.（1）求证：B1A//平面C1BD；（2）若AA1=AB=3，BC=4，且AB⊥BC，求三棱锥B-B1C1D的体积.20. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，点A，B是直线x-y+m=0（m∈R）与圆O的两个公共点，点C在圆O上.（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线x-y-=0上存在点P满足=0，求实数m的取值范围.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA=AD=4，BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=2，（0≤λ＜1）.（1）若λ=，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C的大小为θ，若|cosθ|=，求λ的值.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点与上顶点的距离为2，且经过点（2，）.（1）求椭圆C的方程；（2）直线ι与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点. 若椭圆上存在点N满足，求证：△PQN的面积S为定值.2020－2021学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．B 2．B 3．D4．D 5．A 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BC10．ABC 11．ABC 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 2 14．－92 15．4π 16．y ＝－536(x －14)2，14013四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分） 解：选①．由条件①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )， 即 sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，……………… 2分 从而sin B ＝－2cos A sin B ．因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0，所以cos A ＝－12．因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3．……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32．……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3．……………… 10分选②．由条件②2a cos C ＝2b ＋c ，结合余弦定理得2a ×b 2＋a 2－c 22ab ＝2b ＋c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，……………… 2分 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝－12，因为A 为三角形内角，所以A ＝2π3．……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32．……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3．……………… 10分选③．由条件③，△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2)， 得12bc sin A ＝34(－2bc cos A )，即sin A ＝－3cos A ，……………… 2分 因为A 为三角形内角，所以sin A ≠0，从而cos A ≠0， 所以tan A ＝sin A cos A ＝－3，所以A ＝2π3．……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，故由正弦定理b sin B ＝csin C 得4sin C ＝2sin B ，即2sin C ＝sin B ，所以sin B ＝2sin C ＝2sin(π3－B )＝3cos B －sin B ，即2sin B ＝3cos B ．由sin B ≠0知cos B ≠0，因此tan B ＝sin B cos B ＝32．……………… 8分 因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3．……………… 10分另解：A ＝2π3（略）……………… 4分在△ABC 中，因为b ＝4，c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋22－2×4×2×cos 2π3＝28，所以a ＝27．……………… 6分 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝4×sin2π327＝217，又B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝277，则tan B ＝sin B cos B ＝32．……… 8分 在△ABD 中，因为∠BAD ＝π2，所以AD ＝AB ·tan B ＝3． ……………… 10分18．（本小题满分12分）解：（1）设M (x ，y )，圆M 的半径为r ．由题意知，MF ＝r ＋1，M 到直线l 的距离为r ．方法一：点M 到点F (2，0)的距离等于M 到定直线x ＝－2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C 是以F (2，0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线． 故曲线C 的方程为y 2＝8x ． ……………………6分 方法二：因为MF ＝(x －2)2＋y 2＝r ＋1，|x ＋1|＝r ，x ＞－1， 所以(x －2)2＋y 2＝x ＋2，化简得y 2＝8x ， 故曲线C 的方程为y 2＝8x ．……………………6分 （2）方法一：设P (x 0，y 0)，由P A ＝2PF ，得(x 0＋2)2＋y 02＝2[(x 0－2)2＋y 02]，……………………8分 又y 02＝8x 0，解得x 0＝2，故P (2，±4)，……………………10分 所以k P A ＝±1，从而∠P AF ＝π4． …………………12分方法二：过点P 向直线x ＝－2作垂线，垂足为Q ．由抛物线定义知，PQ ＝PF ，所以P A ＝2PQ ，……………………8分 在△APQ 中，因为∠PQA ＝π2，所以sin ∠QAP ＝PQ P A ＝ 22，……………………10分从而∠QAP ＝π4，故∠P AF ＝π4． …………………12分19．（本小题满分12分）（1）证明：连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以四边形B 1BCC 1为平行四边形，所以O 为B 1C 中点． 又因为D 为AC 中点， 所以OD 为△CB 1A 的中位线，所以B 1A ∥OD ． …………………3分 又因为B 1A ⊄平面C 1BD ，OD ⊂平面C 1BD ，所以B 1A ∥平面C 1BD ． …………………5分 （2）解：方法一：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥D －BB 1C 1的体积．…7分B 1（第19题）A 1C 1BDACOE过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ． 因为DE ⊂平面ABC ， 所以B 1B ⊥DE ．又因为DE ⊥BC ，且B 1B ，BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面B 1BCC 1，即DE 为三棱锥D －BB 1C 1的高． ………9分在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ， 所以AC ＝32＋42＝5，sin C ＝35，在Rt △DEC 中，DC ＝12AC ＝52，所以DE ＝DC ×sin C ＝32．又△BB 1C 1的面积S ＝12×BB 1×B 1C 1＝12×3×4＝6，所以三棱锥D －BB 1C 1的体积V ＝13×S ×DE ＝3，故三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分方法二：三棱锥B －B 1C 1D 的体积就是三棱锥B 1－BDC 1的体积．………7分 因为（1）中已证B 1A ∥平面C 1BD ，所以B 1到平面BDC 1的距离等于A 到平面BDC 1的距离． 因此三棱锥B 1－BDC 1的体积等于三棱锥A －BDC 1的体积， 即等于三棱锥C 1－ABD 的体积．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ， 所以C 1C 为三棱锥C 1－ABD 的高．………10分因为AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，S △ABC ＝12×AB ×BC ＝6．因为D 是AC 的中点，所以△ABD 的面积S ＝12S △ABC ＝3．故三棱锥C 1－ABD 的体积V ＝13×S ×C 1C ＝3，即三棱锥B －B 1C 1D 的体积等于3．………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由△ABC 为正三角形，得∠AOB ＝2∠ACB ＝2π3，所以∠ABO ＝∠BAO ＝π6， 所以原点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π6＝12．………3分由点到直线的距离公式得|m |2＝12，解得m ＝22或－22．所以直线AB 的方程为2x －2y ＋2＝0或2x －2y －2＝0．………5分 （2）方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )．因为AP →·BP →＝0，所以点P 在以AB 为直径的圆上．记该圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0是方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋m ＝0的解，解得⎩⎨⎧x 0＝－m2，y 0＝m 2．故以AB 为直径的圆的方程为(x ＋m 2)2＋(y －m 2)2＝1－m 22，其中－2＜m ＜2．…9分又点P 在直线x －y － 3 ＝0上，即直线与圆有公共点， 所以|m ＋3|2≤1－m 22，即2m 2＋23m ＋1≤0．解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立直线AB 与圆O 方程，得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． ①所以x 1，x 2是①的两个解，判别式△＝(2m )2－4×2×(m 2－1)＞0，即－2＜m ＜2， 且x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12．………7分设点P (x ，y )，则AP →＝(x －x 1，y －y 1)，BP →＝(x －x 2，y －y 2)． 由AP →·BP →＝0，得(x －x 1) (x －x 2)＋(y －y 1) (y －y 2)＝0， ②将y ＝x －3，y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入②，整理得2x 2－2(x 1＋x 2＋m ＋3)x ＋2x 1x 2＋(m ＋3)(x 1＋x 2)＋(m ＋3)2＝0． 又x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，所以2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0，关于x 的方程2x 2－23x ＋m 2＋3m ＋2＝0有实数解， ………10分 因此(－23)2－4×2×(m 2＋3m ＋2)≥0，即2m 2＋23m ＋1≤0， 解得－3＋12≤m ≤1－32． 综上，实数m 的取值范围是[－3＋12，1－32]． ………12分 21．（本小题满分12分）解：因为平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥平面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AD ．又AB ⊥AD ，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ．…………2分 因为P A ＝AD ＝4，AB ＝BC ＝2，所以A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．（1）若λ＝12，即E 为PC 中点，则E ()1，1，2， 所以DE →＝()1，－3，2，AB →＝()2，0，0，AE →＝()1，1，2．设平面ABE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，x 1＋y 1＋2z 1＝0．令z 1＝1，得y 1＝－2， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝(0，－2，1)． …………………4分 设直线DE 与平面ABE 所成角为α，则sin α＝|cos ＜DE →，m ＞|＝|6＋214×5|＝47035． …………………6分 （2）因为PE →＝λPC →(0≤λ＜1)，则E (2λ，2λ，4－4λ)．设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，2λx 2+2λy 2+(4－4λ)z 2＝0．令y 2＝2，得z 2＝λλ－1， 所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，λλ－1)． 设平面AEC 的一个法向量为l ＝(x 3，y 3，z 3)，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ·AC →＝0，l ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋2y 3＝0，4z 3＝0．令x 3＝1，得y 3＝－1， 所以平面AEC 的一个向量为l ＝(1，－1，0)． ……………………9分（或证明CD ⊥平面P AC ，从而CD →为平面P AC 的一个法向量）因为二面角B -AE -C 的大小为θ，且|cos θ|＝23417， 得|cos ＜n ，l ＞|＝|－24＋(λλ－1)2×2|＝23417，整理得3λ2＋2λ－1＝0，解得λ＝13，或λ＝－1(舍)．所以λ＝13．……………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）椭圆C 的左顶点(－a ，0)，上顶点(0，b )．因为左顶点与上顶点的距离为23，所以a 2＋b 2＝23，化简得a 2＋b 2＝12．①因为椭圆经过点(2，2)，所以4a 2＋2b 2＝1，②…………2分 由①②解得a 2＝8，b 2＝4或a 2＝6，b 2＝6（舍去），所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………4分 （2）当PQ 斜率不存在时，N 为(±22，0)，PQ 方程为x ＝±223，易得PQ ＝823， 此时S ＝12×MN ×PQ ＝12×823×823＝649． …………5分 当PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－4)＝0， 由△＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－4)＞0，得0＜m 2＜8k 2＋4．（*）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2(m 2－4)1＋2k 2， 因此PQ 的中点M 为(－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2)． 又因为ON →＝3MO →，所以N (6km 1＋2k 2，－3m 1＋2k 2)， 将点M 代入椭圆方程，得18k 2m 24(1＋2k 2)2＋9m 24(1＋2k 2)2＝1， 化简得2k 2＋1＝94m 2，符合（*）式．……………9分 记点O 到直线l 的距离为d ，则S ＝4S △OPQ ＝2PQ ×d ＝21＋k 2|x 1－x 2|×d＝21＋k 2×22×8k 2＋4－m 21＋2k 2×|m |1＋k2＝42|m |×8k 2＋4－m 21＋2k 2， 将2k 2＋1＝94m 2代入，得S ＝42|m |×9m 2－m 294m 2＝649． 综上，△PQN 的面积S 为定值649．…………12分。