式中： R0、φ0分别为 中圆的 半径和半 中心角 ； R为侧 圆的半 径。
(2)对数螺旋线拱，如图11.5所示。 见图11.5
拱轴线方程为
x a eK sin( ) sin
y
yc
a
cos
e K
cos(
)
拱冠曲率半径
(11.11)
Rc a 1 K 2
(11.12)
式中：a 为长度参数；K 为指数参数；θ=arctanK 为拱轴 线上任一点法线与极半径的夹角；Φ 为极角，可以证明 Φ=φ(φ 为拱轴线上任一点的法线与 y 轴的夹角)。
若同样以拱轴线上任一点的法线与y轴的夹角φ为参数， 方程式(11.18)可写为
x b tan / 2 1 a tan2
y
yc
b b2 4ax2 yc x2 b
/ 2a
a 0 (11.20)
a0
11.2 拱坝体形优化设计数学模型
进行拱坝体型优化设计首先要建立相应的数学模型，下 面从最优化问题的三个基本要素即设计变量、目标函数和约 束条件出发建立拱坝体形优化设计的数学模型。
见图11.1
(1)用一个函数描述坝体上游面，另一个函数描述坝体厚度。 (2)用一个函数描述坝体中面，另一个函数描述坝体厚度。 (3)用一个函数描述坝体上游面，另一个函数描述坝体下游 面。 (4)用一个函数描述坝体下游面，另一个函数描述坝体厚度。
在工程设计中，第(1)、(2)两种方法采用较多，通常是通 过对拱冠梁(铅直剖面)和各层水平拱圈的描述来建立拱坝的 几何模型的。
11.1 描述拱坝体形的几何模型
进行拱坝体形设计就是要确定拱坝的几何形状与尺寸， 因此首先要建立拱坝的几何模型。 11.1.1 拱坝几何模型的构造方法
描述拱坝体形的几何模型可分为连续型几何模型和离散 型几何模型。由于前者较为实用，易被设计人员所接受，所 以目前在拱坝体形设计 中应用的较多。 连续型几何模型 (图1 1.1)可用下面四种方法来构造。
(3)抛物线拱，如图11.6所示。 见图11.6
拱轴线方程
x Rc t a n
y
yc
x2
/
2Rc
(11.13)
式中：Rc为拱冠曲率半径。
(4)双曲线拱，如图11.7所示。 拱轴线方程
见图11.7
x b tan 2 tan2
y
yc
a
1 x 2 b
1
拱冠曲率半径
(11.14)
Rc=b/ξ
a
t
1
a n2 L
Rc
X
2 L
(11.25)
将a、b代入式(11.18)或式(11.20)就可用某一高程处的XL、φL 和RcL来确定该高形参数即可确定一个水平拱圈的形状。
同样，可假设XL、φL、RcL和TAL沿高度方向为z坐标的三次多
项式
X L (z) c0 c1z c2 z 2 c3 z3
Ku
y
' cu
(H
)
a1
2a2 H
nan z n1
Kd
y
' cd
(0)
y
' cu
(0)
Tc'
(0)
a1
b1
11.1.3 水平拱圈的几何描述
见图11.3
确定水平拱圈的几何模型也就是确定其上下游面的曲线
方程。如图11.3所示，我们可利用拱轴线方程和拱圈厚度来 描述拱圈上下游方程。以左半拱为例，设拱轴线上任一点
(11.15)
式中：a、b分别为实半轴长度和虚半轴长度；ξ=a/b。
(5)椭圆拱，如图11.8所示。 拱轴线方程
见图11.8
x a t a n / 2 t a n2
y
yc
b1
1
x a
2
拱冠曲率半径
(11.16)
Rc = a/ξ
(11.17)
式中：a、b分别为与x轴平行和垂直的椭圆半轴长度；ξ= b/a 为两半轴之比。当a>b时，即ξ<1，为长椭圆；当a<b时，即ξ>1， 为扁椭圆。
b11 bb3211
b12 b22 b32
b13 b23 b33
b14 b24 b34
x6 x7 x8
Bxx76
x8
(11.24)
这里[A]、 [B]中的元素均只与控制高程的 z坐标有关。将 式(11.23)、式(11.24)分别代入式(11.21)、式(11.22)就可用设 计变量x1～x8确定拱冠梁断面形状。
a0 a01 a02 a03 a04 x1
x1
aa12 a3
a11
aa3211
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
xx32 x4
A
x2 x3 x4
(11.23)
b0 b01 b02 b03 b04 x5
x5
bb12 b3
(11.26)
L (z) d0 d1z d2 z 2 d3z3
(11.27)
RcL (z) e0 e1z e2 z 2 e3z3
(11.28)
TAL (z) f0 f1z f2 z 2 f3z3
(11.29)
则可取四个控制高程(z=z1，z2，z3，z4)处的体形参数为设计 变量，即x9=xL (z1)，…，x12=xL (z4)；x13=φL(z1)，…，x16=φL(z4) ； x17=RcL (z1)，…，x20=RcL (z4)；x21=TAL (z1)，…，x24=TAL (z4)。 将x9～x24分别代人式(11.26)～式(11.29)，解出相应的系数后， 左半拱的形状即可由这16个设计变量确定。对右半拱也可选 择相应的16个设计变量来确定其形状。
可见，对一般二次曲线拱坝进行体形优化，设计变量总 数为 40。其中，在确定水平拱圈形状时，对于高拱坝和地形 条件比较复杂的拱坝，三次曲线可能不足以描述其体形参数 xL、φL、RcL、TAL 和 xR、φR、RcR、TAR 沿 x 坐标的变化，这 时可采用 Lagrange 插值公式来描述，那么设计变量的数量还 要相应增加。另一方面，由于坝址确定以后，河谷形状也就 确定了，这样各高程两岸拱轴线弦长基本不再变化，因此， 可将 xL、xR 取为定值以减少设计变量。
C(X)=c1Vl(X)+c2V2(X)
(11.30)
式中：V1(X)、V2(X)分别为坝体混凝土体积和基岩开挖体积， 两者都是设计变量X的函数；c1、c2分别为混凝土和基岩开挖 的单价。
基岩开挖量与坝址的地形、地质情况有关，当坝址确定 后，进行拱坝体形优化设计时一般都是用拱端厚度来控制基 岩开挖量，因此常取大坝的体积为目标函数。
在式(11.1)中若n=1，即拱冠梁上游面为一直线，则拱坝称为 单曲拱坝；当n>1时拱坝称为双曲拱坝。
拱冠梁厚度一般也设为z坐标的多项式形式
Tc (z) b0 b1z b2 z 2 bn z n
这样，拱冠梁下游面方程为
ycd (z) ycu (z) Tc (z)
上、下游倒悬度Ku、Kd可分别表示为
11.2.2.2 安全性目标函数 反映拱坝安全性的主要是大坝对荷载作用的相应，如应
力、位移等。衡量拱坝安全性的指标可采用坝体的最大拉应 力σmax高拉应力区H范围等，它们都可以作为拱坝体形优化 的安全性目标函数。
11.2.1.2 确定水平拱圈的设计变量
式(11.18)和式(11.20)给出了一般二次曲线拱圈的拱轴线 方程，其中包含待定系数a、b，其中，由式(11.19)知b=2Rc， 但a是一无量纲系数，若直接以其为设计变量不便于设计人员 合理确定初值，为此可将其用拱轴线弦长XL、似半中心角φL 和拱冠曲率半径RcL表示
ycu z a0 a1z a2 z 2 a3 z 3 Tc z b0 b1z b2 z 2 b3 z3
(11.21) (11.22)
则可选取四个控制高程(z=z1，z2，z3，z4)处的拱冠梁上游面 坐标与拱冠梁厚度为设计变量，即xl=ycu(z1)、x2=ycu (z2)、 x3=ycu(z3)、x4=ycu(z4)，x5=Tc (z1)、x6=Tc(z2)、x7= Tc (z3)、x8= Tc (z4)。将x1～x4和x5～x 8分别代入式(11.21)、式(11.22)后可 求得多项式的系数为
11 拱坝体形优化设计
拱坝是一个高次超静定的空间壳体结构。坝体承受的荷 载一部分通过拱的作用传递给两岸基岩，另一部分通过垂直 梁的作用传到坝底基岩。坝体的稳定主要靠两岸拱端的反力 作用，并不靠坝体自重来维持。在外荷载作用下，坝体应力 状态以受压为主，这有利于充分发挥混凝土或岩石等筑坝材 料抗压强度高的特点，从而节省工程量。由于拱坝的高次超 静定特性，它具有很强的超载能力，当外荷载增大或坝体发 生局部开裂时，坝体应力可自行调整，只要坝肩稳定可靠， 坝体的安全裕度一般较大。另外，拱坝是整体性的空间结构， 坝体轻韧、弹性较好，具有较高的抗震能力。
11.2.1 设计变量
拱坝体形优化中的设计变量首先要能确定拱坝的几何形 状，同时还应便于设计人员作直观的判断。下面以一般二次 曲线双曲拱坝为例说明设计变量的选取。
11.2.1.1 确定拱冠梁断面的设计变量
如前所述，只要确定了拱冠梁上游面曲线ycu(z)与拱冠梁 厚度Tc( z)，其断面形状也就完全确定了。均是 z坐标的三次多 项式，即
11.1.2 拱冠梁的几何描述
见图11.2
拱冠梁是全坝中最高的梁。如图11.2所示，只要确定了 拱冠梁上游面曲线ycu( z)和拱冠梁厚度 Tc( z)，就可以得到拱冠 梁下游面曲线ycd(z)，从而确定了拱冠梁断面形状。
通常将上游面曲线方程ycu(z)假设为z坐标的多项式，即 ycu (z) a0 a1z a2 z 2 an z n (1 1.1)