+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-6）
梁的扭矩为：
∫ M b
=
−
t
2 −t
2
τ zx (y
−
y0
)⎜⎛1
⎝
+
y r
⎟⎞dy ⎠
（5-7）
式中， y0 为梁的截面形心坐标；
单位高度水平拱圈的径向截面宽度为 1，沿厚度方向对拱应力及距积分得到拱的内
力如下：
拱的水平推力为： 拱的弯矩为： 拱的径向剪力为：
t
∫ H a
（5-1）
其中：[T]为坐标转化矩阵。
⎡ ⎢ ⎢
l
2 1
l
2 2
m
2 1
m
2 2
n
2 1
n
2 2
2l 1 m 1 2l 2m 2
2m 1 n 1 2m 2n 2
[T] =
⎢ ⎢
l
2 3
⎢l1l 2
m
2 3
m1m 2
n
2 3
n1n 2
2l 3m 3 l1m2 + l2m1
2m 3n 3 m1n2 + m2n1
(x, y, z)，如图 5-1 所示，其中 x 轴平行于拱轴的切线方向，y 轴平行于半径方向，z 轴 为铅直方向，局部坐标系中的应力{σ }。
图 5-1 应力计算坐标系 Fig.5-1 Stress calculated coordinates
则局部坐标系下的应力由下式计算：
{σ} = [T ]{σ′}
46
基于有限单元法的高拱坝体形优化设计
z
1
Y
B
Wb Mb
Qb
Mb
Ha
Ma
拱x 轴线 A
0 1
图 5-2 等效应力截面内力
Fig.5-2 the equivalent stress and the internal forces of cross-section
拱坝计算中常常使用 8 结点或 20 结点六面体单元，不难在水平拱圈的径向确定计 算等效应力的 A、B 两点，以两点为中心分别在拱中心线上截取单位宽度的水平拱作为 等效梁截面。在拱圈高度方向截取单位高度作为等效拱截面。现将局部坐标系（x，y， z）定位于中心点，各截面内力如图 5-2 所示。假定梁向应力在平行于 x 轴方向和拱向应 力在平行于 z 轴方向的单位宽度内均匀分布，则梁和拱的内力分别可以通过 A、B 两点 的路径进行数值积分计算（以压应力为正）。
⎢⎢l 2l 3 m 2m 3 n 2n 3 l 2m 3 + l 3m 2 m 2n 3 + m 3n 2
⎢⎣l1l 3 m1m 3 n1n 3 l1m 3 + l 3m1 m1n 3 + m 3n1
式中， (li , mi , n i )为坐标轴 x、y、z 的方向余弦。
2l 1 n 1 2l 2n 2
Mb Ib
t − lg
（5-11） （5-12） （5-13）
其他三个应力分量为：
( ) τ xyd = τ yxd = σ xd − Pd tan ηd − τ xzd tan φd ( ) τ yzd = τ zyd = σ zd − Pd tan φd − τ xzd tan ηd
σ yd = Pd + τ xyd tan ηd + τ yzd tan φd
1 1 + tan 2 ηu
( ) τ ′xzu = τ ′zxu = τ zcu cos ηu + τ zyu sin ηu sec φu′
( ) σ pu
=
σ ′zu
+ σ ′xu 2
±
⎜⎛ σ ′zu − σ ′xu ⎟⎞2 + ⎝2⎠
τ ′xzu
2
tanφ′u = tanφu cosηu
5.3 有限元等效应力在 ANSYS 中的实现
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
41
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
5.1 概述
目前，有限元法已经广泛应用于拱坝的应力分析，它在计算理论上比多拱梁法先进， 而且适合各种复杂的体形和结构布置形式，可以比较合理的考虑拱坝的整体作用和复杂 地基的影响，同时也可以考虑大孔口、复杂基础、重力支墩、不规则外形等多种因素的 影响，并可以进行仿真计算。但是，在弹性理论的假定下，有限元应力成果往往与所采 用的单元类型和单元网格划分的尺寸有着密切的关系，特别是在建基面附近存在着严重 的应力集中现象，使得有限元应力成果的数值稳定性较差，难以建立相应的应力控制标 准。实际工程中，由于岩体内存在着大小不等的各种裂隙，应力集中现象将有所缓和， 不一定像计算结果那么严重，计算中如何考虑应力集中，是有限元法应用于拱坝的“瓶 颈” [29][30][68]。我国一些学者提出了有限元等效应力法克服了这一“瓶颈”，新编的《混 凝土拱坝设计规范》（SL282—2003）[25]已经正式规定在拱坝的设计中采用有限元等效应 力法，为有限元法在拱坝设计中的应用开拓了良好的前景，由于有限元法的强大计算功 能，它将逐步取代多拱梁法，成为拱坝设计的主要方法。
∫ W b
=−
t
2 −t
2
σ
x
⎜⎛1 ⎝
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-3）
梁的弯矩为：
∫ M b
=
−
t
(2
−t
y
2
−
y0
)σ
z
⎜⎛1 ⎝
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-4）
梁的切向剪力为：
∫ Q b
=
−
t
2 −t
2
τ
zx
⎜⎛1 ⎝
+
y ⎟⎞dy r⎠
（5-5）
梁的径向剪力为：
∫ Vb
=
−
t
2 −t
2
τ
zx
⎜⎛1 ⎝
⎜
⎜
⎝
Rd Ru
+
⎜⎜⎝⎛
Rd Ru
1 + Rd Ru
⎟⎟⎠⎞ 2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
lg = t × Ru + 2Rd 3 Ru + Rd
（5-21） （5-22） （5-23）
第五章 有限元法的拱坝应力控制标准的探讨
45
Ia
=
t3 12
y0
=
t 6
⎜⎜⎝⎛
Ru Ru
− +
Rd Rd
⎟⎟⎠⎞
σ ′zu = σ zu sec2 φ′ − Pu tan 2 φu′
( ) = σ zu 1 + tan 2 φu′ − Pu tan 2 φu′
σ
′
xu
=
σ xu
cos 2
ηu
+ σ yu
sin 2
ηu
− 2τ xyu
sin ηu
cos ηu
( ) =
σ xu +2τ xyu tan ηu + σ yu tan 2 ηu
针对目前拱坝内力计算流行着以二次曲线表示应力分布，即σ = a + bx + cx 2 ，朱伯 芳院士在文献[68]指出：从有限元应力计算内力时，以直接采用数值积分方法为宜，利用 三点应力决定二次曲线再求内力的方法是不妥当的，会带来不必要的误差。与此同时， 新修订的水利行业《混凝土拱坝设计规范》（SL282—2003）在有限元等效应力法的相关 条款中尽管明确了等效应力的概念和原理，但是还存在以下的问题[71]：（1）没有明确有 限元计算的模型和内力计算公式，不同的模型和算法可能导致很大的差异；（2）没有分
（5-24） （5-25）
（5-26） （5-27） （5-28） （5-29） （5-30） （5-31） （5-32）
（5-33） （5-34） （5-35） （5-36）
从以上理论分析可知，有限元等效应力是沿单位宽度的拱截面和单位宽度的梁截面 对局部坐标系的应力进行积分，求出拱和梁的内力，在用材料力学方法计算出一点的应 力分量和等效主应力，按文献[68]的观点，要保证截面内力计算有足够的精度，数值积 分应采用较多的应力积分点，这使得计算变得异常复杂。ANSYS 软件后处理的路经运 算功能(Path Operations)则能满足较高的积分精度要求，可以充分的考虑有限元计算带来 的应力集中问题，实现拱坝的等效应力的计算。借助路径运算功能能够虚拟映射任何结 果数据到模型的任意指定路径，这样就可以沿路径执行许多数学运算，并且还可以以图 形和列表方式查看结果沿路径的变化情况。
τ zxu
=
τ xzu
= − Qb Ab
−
Mb Ib
lg
( ) τ xyu = τ yxu = − σ xu − Pu tan ηu − τ xzu tan φu
( ) τ yzu = τ zyu = − σ zu − Pu tan φu − τ xzu tan ηu
σ yu = Pu − τ xyu t应力分量，然后由该处的微分体的平衡条件求得另外三个平行于坝面的应
力分量，就能进一步取出拱坝上下游坝面的主应力。
梁的水平截面在拱中心线上取单位宽度，在 y 点的宽度为1 + y ，r 为中心线曲率半 r
径，沿厚度方向对梁的应力及其矩进行数值积分，得到梁的截面内力如下[2]：
梁的水平截面竖向力为：
=
−
2 −t
σ x dy
2
t
∫ M a
=
−
2 −t
σ x ydy
2
t
∫ V a
=
2 −t
τ
xy dy
2
（5-8） （5-9） （5-10）