2
2
切线方程为
x 0 y a z b 2
a 0
b
即
x0
z b
2
a
b
y a 0
法平面方程为 a(x 0) b(z b) 0.
2
曲线的弧长
x xt,
曲线的参数方程
y yt,
z zt,
a t b,
则弧微分 ds rrt dt
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
o
也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
x(t0 )(x x0) y(t0) ( y y0) z(t0 )(z z0 ) 0
例1 求曲线 x a cos t,
y
a sin
t,
(a
0, b
0,0
t
)
z bt
在(0, a, b )处的切线及法平面.
2
解 点(0, a, b )对应于t . 在该点处的切向量为(a,0,b).
弧长
S
b
a
rrt
dt
b
a
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
例2 求曲线
x a cos t,
y
a sin
t,
(a
0, b0,0ຫໍສະໝຸດ t)z bt
的弧长S.
解
S
a2 sin 2 t a2 cos2 t b2 dt
0
a2 b2 .
习题5-4 2. 习题5-5 1.(1) (3) ; 第五章总练习 题 12.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置.
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
T
M
曲线方程为参数方程的情况
设 t t0 对应M (x0 , y0 , z0 )
T
M
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
割线 MM 的方程 :
切线方程 x x0 y y0 z z0 r r x(t0 ) y(tr0 ) z(t0 )
即 r r t a t b 在 r t0 处的切线方程是 rr rr t0 +urr t0
此处要求 x(t0 ), y(t0 ), z(t0) 不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 .
T
M
切线的方向向量:
T (x(t0 ), y(t0 ), z(t0))
r(t)
称为曲线的切向量 .
空间曲线是指区间 a,b 到空间 R3的一个连
续映射的像.
r
rrr
曲线的向量表示 r t xti yt j ztk.
x xt,
曲线的参数方程
y yt,
z zt,
a t b,
若 xt, yt, z t在 a,b 有连续的导
数,且对于每一点 ca,b, xt, yt, zt
不同时为零,则称曲线是光滑曲线.