j=1
= Dn xM2 yM2 zM2 (b a) 0 , 当 Dn0 .
❖ 按照 Riemann 积分意义，此即证得下述结论．
一．E3 中正则曲线段的长度
定理1 正则曲线上的弧段
C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t[a, b] 是可求长的，且长度取值为
L(C) = ab r (t) dt ．
j=1
R2j = (x(x1j), y(x2j), z(x3j))r (tj1) , 当 Dtj = tj tj10 .
n
n
r(tj) r(tj1) r(tj1) Dtj
j=1
j=1
n
≤
j=1
(Dtj)2
2
R2j
.
❖记
Dn = max{Dtj j = 0, 1, …, n } ，
度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定 义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致 不同的关于距离的几何学． ❖ 下面从几何学的角度给出长度概念及其解释．
一．E3 中正则曲线段的长度
❖ 给定 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz ．设 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t[a, b] 是正则曲线上的一个弧段．任 取参数区间的一个划分
§1.2 曲线的弧长
一．E3 中正则曲线段的长度
二．弧长和弧长参数
❖ 粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时， “长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度” 的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认 为总是可以确定的；
勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则． ❖ 换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长
j=1
j=1
R2j = (x(x1j), y(x2j), z(x3j))r (tj1) , 当 Dtj = tj tj10 .
n
n
r(tj) r(tj1) r(tj1) Dtj
j=1
j=1
n
≤
j=1
(Dtj)2
2
R2j
.
n
j=1
(Dtj)2
2
R2j
≤ Dn
n
xM2 yM2 zM2 Dtj
同讨论长度一样，易证（习题）
弧长元素在保向正则参数变换下不变，且在刚体运动 下不变；
弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数， 该常数等于不同起点之间的有向弧长．
二．弧长和弧长参数
当一般正则参数转换为应的弧长参数时，有
dr(t(s)) dr
dt
ds = dt (t(s)) ds
= [r(t)
j=1
一．E3 中正则曲线段的长度
n
n
Pj1Pj = r(tj) r(tj1) ．
j=1
j=1
❖ 由 Taylor 展开式，可写
r(tj) r(tj1) = (Dtj) r (tj1) [(Dtj)2/2]R2j ,
其中余项
R2j = (x(x1j), y(x2j), z(x3j))r (tj1) , 当 Dtj = tj tj10 .
“长度”为几何不变量．
它不依赖于正则参数的选取； 它不依赖于 E3 中Descartes直角坐标系的选取． 分析意义下的可求长曲线对连续可微性的要求是可以降低 的．关于降低可微阶数的讨论，在一般的场合，并不是本 课程中所关心的内容．
二．弧长和弧长参数
定义 对正则曲线 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t(a, b) ，任
此时
r(tj) r(tj1) (Dtj) r(tj1) ≤
(Dtj)2
2
R2j
，
n
n
r(tj) r(tj1) r(tj1) Dtj
j=1
j=1
n
≤
j=1
(Dtj)2
2
R2j
.
一．E3 中正则曲线段的长度
n
n
Pj1Pj = r(tj) r(tj1) ．
j=1
1 r(t)
]t = t(s) = T(t(s)) .
单位切向作为保向正则参数变换下的不变量，用弧长参数 表示以及计算，一定有其意义．
一般地，由于弧长参数具有明确的几何属性，因而在几何 理论研究中被广泛地使用；其重要性表现在简化计算的同 时，能突出所讨论对象的几何意义．
二．弧长和弧长参数
弧长参数的存在性和特征可以总结成下列结果． 定理2 对正则曲线 C: r (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t(a, b) ，
取 t0(a, b) ，称
s(t) s(t0) =
t t0
r(u) du
为曲线 C 上的从参数 t0 到 t 的有向弧长，简称弧长；
称 ds = r(t) dt 为曲线 C 上的有向弧长元素，简称弧
长元素；称函数 s(t) s(t0) 为曲线 C 上以 r(t0) 为起点 的有向弧长参数函数，简称弧长参数．
(a, 0, 0) 计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度．
解：r(t) = (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) ，
二．弧长和弧长参数
❖ 例 圆柱螺线参数化为 r(t) = (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其 中三个常数 a > 0 , w 0 和 v 0 ．试求其从点 (a, 0, 0) 计起的弧
Dn: t0 = a < t1 < … < tn = b ， 对应有曲线上的分点 Pj: r(tj) , j = 0, 1, …, n ． ❖ 相应折线的长度确定为
n
n
Pj1Pj = r(tj) r(tj1)
j=1
j=1
n
= (xj xj1)2 (yj yj1)2 (zj zj1)2 ．
① 总可以弧长参数化； ② 参数 t 成为弧长参数的充要条件为
r (t) 1 , t(a, b) ．
约定：以后在不容易混淆时，通常以 s 表示曲线的弧长参 数，通常以 ds 表示曲线的弧长元素．
例 圆柱螺线参数化为 r(t) = (a cos(wt) , a sin(wt) , vt) , tR ，其中三个常数 a > 0 , w 0 和 v 0 ．试求其从点
xM = max{x(t) t[a, b]} ，yM = max{y(t) t[a, b]} ，
zM = max{z(t) t[a, b]} ，
则 n
j=1
(Dtj)2
2
R2j
≤ Dn
n
xM2 yM2 zM2 Dtj
j=1
一．E3 中正则曲线段的长度
n
n
Pj1Pj = r(tj) r(tj1) ．