本节要点
本节以定积分为工具,建立起连续函数在一个区间上的 三中不同的平均值的概念. 一、函数的算术平均值 二、函数的加权平均值 三、函数的均方根平均值
一、函数的算术平均值
我们知道，n 个数 y1,y2,L,yn的算术平均值为
yy1y2Lyn
n
1n ni1yi.
在自然科学与科学技术中，有时还要考虑一个连续函数
y i fx ii 1 ,2 ,L ,n .
则可以用
1n n i1
yi
1 n n i1
f
xi
来近似表示函数 f x 在区间 a , b 上的算术平均值.
自然地，称极限
ylimy0y1Lyn1
n
n
为函数 f x 在区间 a , b 上的算术平均值.
若 f x 在 a , b 上可积，则
f x 在区间 a , b 上所取得的“一切值”的平均值. 今
讨论平均值的求法.
定义 f x 在区间 a , b 上定义，将区间 n 等分，
分点为
a x 0 x 1 x 2 L x n b ,
各小区间的长度为 xi b na,i1,2,L,n.
函数 f x 在各个端点处的取值记为
而在整个时间段 T1,T2 内，销售量为
T2 q t dt T1
在整个时间段 T1,T2 内，销售收入为
T2 ptqtdt T1
则整个时间段 T1,T2 内，销售商品的平均价格为
T2 p t q t dt p T1 T2 q t dt
T1
将此平均价格称为价格函数 p t 关于权函数q t 在时
特别，当 ki1i1 ,2,L,n时，加权平均值即为
算术平均值。
如果用函数 p t 来反映商品一个时间段 T1,T2 内的
销售价格的变化情况，函数q t 来反映单位时间内的
销售量，那么在小时间段t,t dt内，销售量为
q t dt
在小时间段 t,t dt内，销售收入为
ptqtdt
所销售商品的平均价格为
q1 p1 q2 p2（元）. q1 q2
这是能够反映销售水平的平均价格，称为售价的加权平
均值，将q 1 , q 2 称为权数。
一般，设 y1,y2,L,yn为实数，k1,k2,L,kn0,称 k1y1k2y2 Lknyn k1k2 Lkn
为 y1,y2,L,yn关于权数 k1,k2,L ,kn 的加权平均值。
ylimy0y1Lyn1
n
n
limy0y1Lyn1ba
n
ba
n
所以，将
lim 1
n
f
nbai1
xi1 xi.
b
1 a
b
a
f
xdx.
y
1 bba af来自xdx.称为可积函数 f x 在区间 a , b 上 的算术平均值。
例 求函数 y sin x 在区间 0 , 上的平均值.
区间间 T1,T2 上的加权平均值。
一般情况下，将
f
b
a
f x w xdx
b
a
w
x
dx
称为函数 f x 关于权函数w x 在 a , b 上的加权平均值。
三、函数的均方根平均值
问题 非恒定电流（如正弦交流电）是随时间的变化 而变化的，但一般我们所使用的非恒定电流的电器上却 标明着确定的电流值。这个电流是一种特定的平均值， 习惯上称为有效值.
周期性非恒定电流 i t 的有效值是这样规定的： 如果在一个周期T 内，i t 在负荷电阻 R 上消耗的平均
功率等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率时，
则称这个 I 值为 i t 的有效值.
今来计算 i t 的有效值.
固定值为 I 的电流在 R 上消耗的功率为 I 2 R ,
0 2 Im 2sin 2
td t 2
0 2 Im 2sin 2
tdt
Im 2
4
t
12sint02
Im . 2
即：正弦交流电的有效值为它的峰值的 1 . 2
若函数 fxCa,b,在数学上把
1 b f 2 tdt
ba a
称为函数 f x 在区间 a , b 上的均方根平均值。
（简称为均方根）.
电流 i t 在 R 上消耗的功率为 utiti2tR,
它在 0 , T 上的平均值为
因此，
1 T i2 t Rdt.
T0
I2R1Ti2tR dtRTi2tdt,
T0
T0
从而
I2 1 Ti2tdt.
T0
即
I 1 T i2 tdt. T0
例如正弦波itImsint的有效值为
2
I 2
解 由公式，得
y1
sinxdx
2.
0
二、加权平均值
在许多实际问题中，我们所遇到的不是一个简单的算 术平均值，而是加权平均值.
下面的例子就说明了加权平均值的作用.
设某商店销售某种商品，以每单位商品售价p 1 元，销
售了 q 1 个单位商品，调整价格以后再以每单位商品售价
p 2 元，销售了q 2 个单位的商品，则在整个销售过程中，
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