（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解： x
52 N (40, )
64
P{x401}P{x40 1 }p{U8}
5/8 5/8
5
2(8)10.8904
5
Page 7
第二章
参数估计
1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度
为
ex, x 0
f(x)=
0, x 0
其中 0 。试用矩法求的估计量。 解：x e()
2 1 2
用 X
得
X
和
S
a
2
2
b
分别估计EX和DX ＾a X
3S
S 2 (b a )2
＾b X 3 S
12
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14.设母体X的分布密度为x 1,源自0 x 1f(x)=0
,
其
他
其中 0
(1) 求 的最大似然估计量;
(2)用矩法求 的估计量.
解: x
f (x) x 1 , 0 x 1
均值和方差。
解：x
1 1
22 1
U ( 1 ,1 ),E x 0 ,D x
2
1 2 3
1
1
Ex E( n
i
xi) n
i
Exi Ex 0
1
1
1
Dx D( n
i
xi
)
n
Dx
Page
3
3n
5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个
子样，求
Y
1
2
n
(Xi
i1
)2的概率分布。
解：
X N (,2 ) , 则 y i x iN ( 0 , 1 ) , 且 Y 1 , . . . , Y n 之 间 相 互 独 立
2 (2 ), c 1 3
Page 5
7.已知 X t(n) ，求证 X2 F(1,n)
证明：令 X U t(n),其 中 U N(0,1)
2/n
2 2 ( n ) ,且 U 与 2 独 立 ,U 2 亦 与 2 独 立
X2U 2/2n,由 F分 布 定 义 X2 F(1,n)
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1
x
e dx
2
0 2
E E(1
ni
1 xi)ni
Exi
＾ 是 的无偏估计.
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8设母体X N(40,52),从中抽取容量n的样本
求（1）n=36时，P(38x43) 解： x N(40, 52 )
64
P 3 8 x 4 3 P { 3 8 4 0 x 4 0 4 3 4 0 } 5 /6 5 /6 5 /6
P { 2 . 4 U 3 . 6 } ( 3 . 6 ) ( 2 . 4 ) ( 2 . 4 ) 0 . 9 9 1 8
1
x
e,x
2
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是
否解的：L无i偏 n1f估(x计i) . i n121 e x(21 )ne ixi
xi
lnLnln2nln i
dlnLn i
xi 0
d 2
得
＾
1 n
i
xi
Page 14
E xi E X x f (x)dx
x
1
x
e dx 2 x
解：X N(0,1),Z1 X1X2 X3 N(0,3),
Z1 N(0,1),Z12
3
3
12(1)
Z2X4X5X6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 N(0,1),Z22 2(1)
3
3
且与 2 相互独立。由 2 分布可加性，
Z 3 1 2 Z 3 2 2 1 3 (Z 1 2 Z 2 2 ) 1 3 Y
0, 其 他
( 0 )
n
n
1最大似然估计L xi1n xi1
i1
i1
lnLnln(1) lnxi
i
dd ln Ln i lnxi 0, ＾n lnxi
Page 12
i
2矩法估计
E X xf(x)dx1 0xx1dx1
用 X 估计EX
X
1 X
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5.设母体X的密度为
f(x)
Page 2
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求EX 和DX
。 解：xp (),E x E (1 n i x i) 1 n i E x i 1 n n
1 1
1
D x D (
ni
x i) n 2i
D x i n 2i
D x n
4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的
1 Y
2
(x i)2 (x i)2 yi2
i
i
i
由 2 分布定义Y 2 (n)，Y服从自由度为n的
2 分布。
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16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体
中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 。试决定常数C,使 Y ( X 1 X 2 X 3 ) 2 ( X 4 X 5 X 6 ) 2 得随机变量CY服从 2 分布。
数理统计课后习题答案答案(汪 荣鑫版本)
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12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。
解：作变换
yi xi 100,a100,y1n i
yi
100 5
xay100
s x 2 s y 2 1 n i y i2 y 2 1 5 [ ( 8 ) 2 ( 6 ) 2 3 2 5 2 6 2 ] 0 3 4
i 1
lnL ( x i n )ln (1 p ) n lnp i
n
dlnL i
xi n0,＾p1
dp 1p p
x
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13.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布, 其分布密度为
1 ,a x b
f(x)= b a
0,其 他
其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计 量. 解: XU [a ,b ],E X a b ,D X 1(b a )2
E X ＾k p 1 k 1( 1 p )k 1 p p k[ ( 1 p )k ]' p p 1 2 1 p
x
(( i
(1 x )i)' [1 x (1 1 x )]' (xx 1 )'x 1 2)
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(2)极大似然估计
n
xin
L (1p)xi 1p(1p)i pn
ex, x 0 f(x)=
0, x 0
（ 0 ）
Ex xf(x)dx 0xexdx1
用样本 x 估计Ex，则有 x 1 ,＾ 1
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x
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为
P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…
先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估
计.
解 :( 1)矩法估计