2．2．1椭圆及其标准方程教案
南阳中学数学组杨政安
教学目标：
1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导；
2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；
3．了解建立坐标系的选择原则.
教学重点：椭圆的标准方程及定义
教学难点：椭圆标准方程的推导
教学方法：引导式
教具准备：多媒体平台、椭圆演示模板、三角板
教学过程
Ⅰ.新课引入：
师：在日常生活中，大家对椭圆已存有一定的认识，大家一起来观看两个图片（椭圆形状的实物）；在本章第一节学习了求解曲线方程的基本方法，那么椭圆的曲线方程是什么呢？它有什么特征呢？这一节，我们开始研究椭圆.
Ⅱ.回顾圆的定义和画法：（到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆）
如果我们将一个定点改为两个定点，动点到定点的距离定长改为到两个定点的距离的和为定长，则动点的轨迹图形是什么？
Ⅲ.讲授新课：
1、多媒体演示：展示椭圆图形的画法.（要求学生认真观察，思考两个问题：
问题一:到两个定点的距离的和等于一个常数，这个常数与两个定点的距离要满足什么条件才能形成椭圆的图形呢？
问题二:如果这个常数等于或小于两定点的距离以能得到什么图形吗?
2.椭圆定义.(现在我们给椭圆下个定义)
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数为2a（两个定点的距离为∣F1F2∣=2c，且2a>2c）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
3．椭圆的标准方程：(椭圆的曲线方程是什么呢?下面我们一起来研究椭圆的曲线方程)
一、建系 (你认为该怎样选择坐标系才能使枯燥的方程简单。

)
建立直角坐标系x O y ，使x 轴经过点F 1、F 2，并且O 与线段F 1F 2的中点重合.
二、设点 设动点M （x ,y ）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c (c ＞0)，那么焦点F 1、F 2的坐标分别是（－c ,0），(c ,0).
又设M 与F 1和F 2的距离的和等于常数2a （2a>2c ）.
三、列方程 由椭圆定义，椭圆就是集合
P =｛M ∣∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ｝ 因为∣MF 1∣=2
2)(y c x ++ ∣MF 2∣=
22)(y c x +-
所以得：
22)(y c x +++
2
2)(y c x +-=2a
四、化简方程
整理得：（a 2－c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2－c 2).
由椭圆的定义可知：2a ＞2c ，即a ＞c ，故a 2－c 2＞0.
令a 2－c 2=b 2，其中b ＞0，代入上式整理得：
)0(122
22>>=+b a b
y a x 这就椭圆的标准方程[1]的一种形式：
(122
22>>=+b a b
y a x 它的特点是： ①焦点在x 轴上；
②焦点坐标F 1（－c ，0），F 2（c ，0）； ③c 2= a 2 - b 2
4、如果椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的方程又是什么呢？
将x 轴,y 轴交换可得椭圆方程[2]：)0(122
22>>=+b a b
x a y
它的特点是：①焦点在y 轴上；②焦点坐标F 1（0，－c ），F 2（0，c ）；③c 2=a 2－b 2； [小结一]
x
x
①椭圆的标准方程有两种形式； ②两种形式中，总有a >b >0；
③两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上； ④a 、b 、c 始终满足c 2=a 2－b 2； ⑤我们再回忆求曲线方程的基本步骤？
（1）、建直角坐标系；（2）、设点；（3）、列方程（等式）；（4）、化简方程；（5）、检验。

5．例题讲解：
例1 判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标
①、 ② ③
解①、a 2=25，b 2=16；②a 2=169，b 2=144；③a 2= m 2+1，b 2=m 2
[小结三]：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。

例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）；（4，0）；椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)2
5
,23(-.
解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x .
∵2a =10, 2c =8 ∴a =5, c =4
∴b 2=a 2－c 2=52－42=9
所以所求椭圆的标准方程为19
252
2=+y x . 解：（2）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
x a y .
由椭圆的定义知：
2a =102)22
5
()23()225()23(2222=-+-+++-
1
16
25
22=+
y x 1
169
144
22=+
y x 11
22
22=++m y m x
∴a =10，又c =2 ∴b 2=a 2－c 2=6
所以所求椭圆方程为
16
102
2=+x y
[小结四] 以上求椭圆方程的方法叫“待定系数法”。

6、课堂练习：
1.平面内到两定点 的距离之和 为4的点M 的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上都不对
2.已知椭圆 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离是3，则点P 到另一个焦点的距离是______________。

3.椭圆 的焦点坐标是（ ）
4.平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。

5.已知三角形ABC 的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程
7、思考题：方程 ①、当m 取何值时表示椭圆？
②、当m 取何值时表示焦点在x 轴上的椭圆？ ③、当m 取何值时表示焦点在y 轴上的椭圆？ 8、课堂小结
（1）、椭圆是怎样定义的； （2）、椭圆的标准方程是什么：
（3）、求椭圆方程的常用的方法有“定义法”，“待定系数法”
师：通过本节学习，要求大家理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用. 课后作业
课本P 45练习2，3，4
12(2,0),(2,0)F F -2
2
12516
x y +=2
2
2
2(0)x y k k +=
>.(0,)
2
A k
±.(,0)2
B k ±
.(0,)C k ±.(,0)
D k ±22
1
2516x y m m +=-+。