知识结构：2. 勾股定理的逆定理（2）勾股数（1）勾股定理的简单应用3. 应用（2）勾股定理逆定理的应用 a,b,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三1. 满足a 2+b 2=c2的三个正整数a,b,c称为勾 股数（1）3,4,52. 常见的勾股数 （2）5,12,13（3）8,15,17求几何体表面上两点间的最短距离解决实际应用问题----- 判定某个三角形是否为直角三角形3.1 勾股定理一、 求网格中图形的面积 求网格中图形的面积，通常用两种方法： “割 ”或“补”。
二、 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
拓展延伸 ：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系， 所以必须注意 “在直角三角形中 这一前提。
（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把 所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。
三、 勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。
第 3 章 勾股定理勾股定理（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证1.勾股定理1.在直角三角形中已知两边求第三边（3）应用2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高（1）如果三角形的三边长角形用拼图法 ,借助面积不变的关系来证明3.2勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2 3+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说斜边”直角边”。
（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。
当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。
下表所示：二、勾股数满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。
勾股数必须是正整数。
一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。
记住常用的勾股数可以提高做题速度。
3.3勾股定理的简单应用一、勾股定理的应用运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。
在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。
注意:应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，以便进行计算或推理。
对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。
详解：（1）如:32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5 ；5,12,13 ；6,8,10 等。
（2）、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。
解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。
有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。
【勾股定理的证明】例1 如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为a和b，斜边为c,大直角三角形直角边都为c,请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
⑴画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。
(2)用这个图形证明勾股定理。
例2 数学实验室: 实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理，拼图填空。
操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。
(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和____________________________________________________ 图③中小正方形的面积(填大于”小于”等于”)用关系式可表示为 _________________________________ ；⑵拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S 小,其关系是______________________________ :用a、b、c可表示为______________________________________ ；(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小，其关系是 ________________________________ ，用a、b、c可表示为________________________________ .(思考题)如图，在厶ABC中AB2=AC2=3，D是BC上一点，且AD=1，则BD?DC= ____________________【勾股定理的应用】例1 (基础题)利用勾股定理求三角形的边长已知△ ABC中，/ C=90 , AB=c , AC=b (c为斜边、a、b为直角边)(1)如果a=7, b=24,求c；(2)如果a=15, c=17，求b.例2 已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长填空：形，其正方形的面积由小到大分别记作 S 1、S 2、S 3，则有S 什S 2=S 3；(1) 直角三角形的一条直角边和斜边的比是 3:5,已知这条直角边的长是12,则斜边长为 ____________________ .(2) 在 RtA ABC 中，/ C=90 ° , / B=60 ° , b=6 (c 为斜边，a 、b 为直角边)贝U c= _______a= ___________ .例3利用勾股定理说明边的关系是一组勾股数请说明理由. (提示：满足关系a 2+ b 2= c 2的3个正整数a 、b 、 c 称为勾股数.)例8构造直角三角形求角的度数如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC , P 是厶 ABC 内的一点，且 PB=1 , PC=2, PA=3. 把厶ACP 绕C 点逆时针旋转90°使点A 和点B 重合，得到四边形 ABDC ，求/ BPC 的度数。
例9勾股定理在实际生活中的应 用A 市接到台风警报时，台风中心位于 A 市正南方向125 km 的B 处，正以15km/h 的速度沿BC 方向移动。
(1) 已知A 市到BC 的距离AD=35 km ，那么台风中心从 B 点移到D 点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心 40km 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A 市受到台风影响的 时间是多长(结算结果精确到1分钟)?如图, AD 是厶ABC 的中线，试说明: AB 2 + AC 2=2(AD 2+ CD 2)利用勾股定理求面积： 如图, 有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm , 直线折叠，使它落在斜边 AB 上，且点 C 落到E 点, 例5 求等腰三角形底边上的高如图，在 △ ABC 中，AB=AC=5,BC=6,AD 是BC 边上的中线，求 AD 的长。
利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 已知a 、b 、c ABC 的三边，且满足 a 2 + b 2 + c 2+ 338=10a + 24b + 26c 求厶ACD 的面积是多少？BC = 8cm ,现将直角边试说明: 这个三角形是直角三角形。
勾股定理及其逆定理的综合应用: (1)如图，四边形ABCD 中，AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13 , / B=90°，求四边形 ABCD 的面积。
(2)、下列几组数中是勾股数的是 1 ① 32、42、52 ②5、12、13 ③—、二、二 ④ 0.9、1.2、1.5 3 4 5_____ (填序号) 1 1(3)如图，在 RtA ABC 中，/ ACB = 90° AD 、BE 、CF 分别是三边上的中①若 AC = 1, BC = 2 .求证：AD 2+ CF 2= BE 2 ;②是否存在这样的 Rt △ ABC ，使得它三边上的中线 AD 、BE 、CF 的长恰好形，其正方形的面积由小到大分别记作S 1、S 2、S 3，则有S 什S 2=S 3；例10最短路径问题（1）两点之间线段最短；（2）垂线段最短。
（1）画出展开图；（2）确定点的位置；（3）连接线段；（解。
简化步骤 是：①画图 ②定点 ③连线 ④求解注意：如果不是两个相对顶点 的最短路径，不能用之前给的公 式去求解。
例11 探究题1、探索与研究：方法1:如图（a ）,对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转 90°所得，所以/ BAE = 90°且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt △ BAE 和Rt △ BFE 的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2:如图（b ），是任意的符合条件的两个全等的 Rt △ BEA 和Rt △ ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗（1）如图 2，分别以 △ ABC 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作 1、有一圆柱体如图，高 4cm ，底面半径5cm , A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到蚁爬行的最短距离2、如图1,长方体的长为 20,宽为10,高为25,点B 离点C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 2cm . A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程4、如图所示：有一个长、宽都是 2米，高为 盒，一只小蚂蚁从 A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路 3米的长方体纸径为米。
总结 1:利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面:总结 2:利用勾股定理求最短路径问题一般步骤:4）用勾股定理求C 处，求蚂520cm 、3cm 、圈12、已知：在Rt △ ABC 中， / C=90 / A 、/ B 、/ C 所 对的边分别记作a 、b 、c .如图1,分别以△ ABC 的三条边为边长向外作正方S i、S2、S3,请问S什S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图 3 所示，其面积由小到大分别记作S i、S2、S3,根据（2 ）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；（3）若Rt△ ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积.。