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1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标.
π 2 P2，6，1，Q4，3π，－3
解
x＝ρcos θ 直接代入互化公式y＝ρsin θ ， z＝z
可得 P 的直角坐标为( 3，1，1)，Q 点的直角 坐标为(－2，2 3，－3).
§3 柱坐标系和球坐标系
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1.柱坐标系
(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加 一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐 标系.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的 投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成 (r，θ，z)就叫作点M的柱坐标 的有序数组________ ______，这里规定r，θ， 0≤r＜＋∞，________ 0≤θ＜2π， －∞＜z＜＋∞ . z的变化范围为__________ 特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常 数，表示的是 过z轴的半平面 xOy平面平行的平面 .
；
φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间 的变换关系为
sin φ· cos θ， x＝r· sin φ· sin θ， y＝r· z＝rcos φ.
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【思维导图】
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【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是 求该点到点O的距离和方位角、高低角.两个角 可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联
系和区别.
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2.在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建 立坐标系.有 A， B 两个城市， 它们的球坐标分别为
纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.
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解
在赤道平面上， 我们选取地球球心为极点， 以O
为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴， 建立平 面极坐标系，在此基础上，取以 O 为端点且经过北 极的射线 Oz(垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图 所示建立一个球坐标系 . 由已知航天器位于经度为 80° ，可知 θ＝80° ，由航天器位于纬度 75° ，可知，φ ＝90° －75° ＝15° ，由航天器离地面 2 384 千米，地 球半径为 6 371 千米，可知 r＝2 384＋6 371＝8 755 千米.所以点 P 的球坐标为(8 755，15° ，80° ).
题型三
空间点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、 纵坐标和竖坐标三 度来确定的，即(x，y，z). 2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的 竖坐标组成的，即(ρ，θ，z). 3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与 x 轴正方向所成的 角 θ，与 z 轴的正方向所成的角 φ，以及点到原点的距离 r 组成的，即(r，φ，θ). (2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离 r；②与 z 轴正方 向所成的角 φ；③与 x 轴正方向所成的角 θ.
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；z＝常数，表示的是与
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(2)空间点 M 的直角坐标(x，z)与柱坐标(ρ，
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z. θ，z)之间的变换公式为_____________.
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2.球坐标系
(1)定义：设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有 次序的数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距 → 离，φ 为有向线段OM与 z 轴正方向所夹的角，θ 为从 z 轴正 → 半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP的角， 这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影.这样的三个数 r，φ，θ
π π π 2π AR，4，6，BR，4， 3 ，飞机应该走怎样的航
线最快，所走的路程有多远？
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解 由题意可知面 AOO1，面 BOO1 都垂直于两圆平面， ∴∠AO1B 是两平面 AOO1 和 BOO1 的夹角，
π π π 2π 又∵AR，4，6，BR，4， 3 ，
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【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径
的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程 ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面. 【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系 中满足x＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y＝2 的点构成的图形是一个平面结合考虑.
2π π π π ∴∠AO1B＝ 3 －6＝2，∠AOO1＝∠BOO1＝4， 2 ∠AO1O＝∠BO1O，∴小圆 O1 的半径 r＝ 2 R，∴AB＝R， π π ∴∠AOB＝ ，则经过 A、B 两地的球面距离为 R. 3 3 π 故飞机经过 A、B 两地的大圆，航线最短，其路程为 R. 3
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题型二
球坐标系
球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P到O的距离r以 及两个角θ，φ来刻画点P的位置. 【例2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测， 并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2
384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，
r，φ，θ 叫作点 M 的_________ 球坐标 ， 构成的有序数组(_______) 这里 r， φ， 0≤r＜＋∞ ， 0≤φ≤π ， 0 ≤θ＜2π 特别地， θ 的变化范围为__________ _________ ________.
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r＝常数，表示的是 以原点为球心的球面 θ＝常数，表示的是过z轴的半平面 .
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【知能要点】
1.柱坐标系. 2.球坐标系.
3.空间点的坐标的确定.
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题型一
柱坐标系
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系
及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标， z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.