最终的布朗尼蛋糕盘Team #23686 February 5, 2013摘要Summary/Abstract为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题，本文首先建立了烤盘热量分布模型，解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。

又建立了数量最优模型，解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。

然后建立了热量分布最优模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题。

最后，我们建立了数量与热量最优模型，解决了选择最佳烤盘形状的问题。

模型一：为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题，我们假设烤盘的任意一条边为半无限大平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式，建立了不同形状烤盘的热量分布模型，模拟出不同形状烤盘热量分布图。

最后得到结论：在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小。

模型二：为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题，本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。

求解得到烤盘数目N 随着烤箱长宽比和烤盘边数n 变化的函数如下：AL W L W cont cont cont N 4n2nsin 1222⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=π模型三：本文定义平均热量分布H 为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。

为了解决烤盘平均热量分布最大问题，本文建立了热量分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下：n sin n cos -n 2nsin 22ntan1H ππδπδπ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=A结论是：当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形烤盘的平均热量分布最大。

当烤盘边数为定值时，在长宽比为1:1的烤箱中被容纳的烤盘数量最多，平均热量分布H 最大。

模型四：通过对函数⎪⎭⎫ ⎝⎛n ,L W N 和函数⎪⎭⎫⎝⎛n ,L W H 作无量纲化处理，结合各自的权重p 和()p -1，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数n 随p值和LW的函数。

当7273.0=LW，5977.0p =时，此时的6n =。

Contents1 Analysis32 Model Assumptions3 3 Modeling and solving 33.1 Definition ...................................................................................................... 4 3.2 Model 1 ............................................................................................................. 4 3.3 Model2 ............................................................................................................ 10 3.4 Model3 ........................................................................................................................... 11 3.5 Model4 ........................................................................................................................... 13 4 References 15 5 Appendix 151.问题分析Analysis本文讨论了在有限的烤箱内，不同形状烤盘的外部边缘的热量的分布问题。

当烤箱内部预热到一定时间时，烤箱内温度达到一个均衡值。

由于预热的一段时间很短，我们假设在烤箱的工作时间，炉内热量分布是均匀的。

因此烤箱内的气体可以看成为温度不变的流体。

烤盘的每一条边都可以看成无限大平板在一维时的情况。

可以建立半无限大平板在第三类边界条件下的一维非稳态导热函数，并结合多维非稳态导热的乘积解法，可以得到多边形烤盘在二维的热量分布。

然后模拟出多边形烤盘热量分布的图像，通过观察，得到各种形状烤盘所受到的热量分布情况。

问题二：讨论烤箱所能够容纳烤盘数最多的情况。

实际上也就是讨论多边形在L W ⋅ 区域内的平铺问题。

在这里，我们假设L W +为定值。

一方面当LW分别为不同值时，多边形的平铺区域面积会有不同的值。

另一方面，多边形在区域L W ⋅的烤盘数量N 会随着多边形边数的变化而变化。

因此，平铺数量N 会随着LW和边数n 的变化而变化。

讨论烤盘平均热量最大的情况，实际上也就是讨论非烤焦区域面积占总区域面积比例的问题。

我们认为烤焦区域面积为温度出现重叠的区域面积。

一方面，当LW分别为不同值时，热量平均分布H 会有不同的值。

另一方面，多边形在区域L W ⋅的热量平均分布会随着多边形边数的变化而变化。

因此，热量平均分布H 会随着LW和边数n 的变化而变化。

结合以上相关结论，我们可以得到边数n 会随着热量平均分布H 和L W和数量N 变化而变化。

通过作无量纲化处理，数量N 和平均热量分布H 的权重分别为p 和()p -1，所以边数n 会随着LW和P 的变化而变化。

2.模型假设Model Assumptions1. 忽略不同食材，烘焙时间长短等因素对蛋糕成熟的影响；2. 当烤箱工作时，烤箱内的温度为定值；3. 假设烤箱内传热主要为导热传热。

3. 不同形状烤盘热量分布模型3.1烤盘，烤箱的定义本文考虑的烤箱的结构简图（Figure 1）：Figure 1 烤箱结构图本文忽略盘烤的高度，仅考虑烤盘在二维空间内的导热问题,如图2所示：Figure 2 烤盘形态图图3.2模型建立模型解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。

当只考虑烤盘的一条边时，此时烤盘相当于半无限大平板。

在一维非稳态传热过程中烤盘内的温度。

坐标分布如图3所示：Figure 3 半无限大平板加热过程中的温度分析由上图可知，烤盘厚度为δ时烤盘的加热情况：第一阶段step1：当烤制时间),0(2ττ∈时，空气流体不断的向烤盘内部导热，但是烤盘仍然有部分处于初始温度，未开始加热。

当2ττ=时，空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘；第二阶段step2：当),(42τττ∈时，空气流体对整个烤盘加热的一段时间； 第三阶段step3：当4ττ>时，烤盘的温度到达新的稳定状态。

烤盘的加热过程的微分方程[1]为：)1(22ττ∂∂=∂∂t a t其中，t 为烤盘的温度，0t 为烤盘的初始温度，f t 为空气流体的温度，且0t t f >。

f h 为空气流体与烤盘间的对流换热系数，且为常数。

τ为加热时间，δ为烤盘边缘的厚度，α为热量传输系数（或导热系数）。

定解条件：0=τ，δ≤≤x 0，0t t =0>τ，0=x ，00=∂∂=x xt （对称性）0>τ，δ=x ，()δλ===∂∂x f f x tt h xt -0引入过余温度:t t f -=θ。

在此定解条件下微分方程解的结果为：()()()()()）（2cos sin cos sin 2--10022∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==n n n n n n f f x s e t t t t a nδβδβδβδβδβθθδτδβ 式中的n β是下列超越方程的根，称为特征值。

()δβδβn in B =tan () 3,2,1=n从上式看出解得结果可表示为：()())3(,,-,-,000⎪⎭⎫ ⎝⎛==δτθτθx B F f t t x t t x i f f从上述的结果可知，烤盘的加热过程函数是一个无穷级数，计算工作量较大。

但对比计算表明，当傅里叶系数2.0o >F 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的差别小1%.0。

这样的误差在计算中是被允许的，因而当此2.0o >F 后可以采用以下简化结果：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==δδβδβδβδβδβθθδτδβx e t t t t i a f f ncos cos sin sin 2--22111100 (4) 其中特征值n β() ,3,2,1=n 的值与i B 有关。

从上式可知得当2.0o >F 以后平板中的任意一点的过余温度()τθ,x 与平板中心的过余温度()()τθτθm x =,之比为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=δδβθθx m 1cos (5) 非稳态导热的这一阶段就是所谓的导热正规状况或充分发展阶段。

确认正规状况阶段的存在具有重要的意义，因为本文计算中关心的非稳态导热过程常常处于正规状况阶段，此时的计算可以采用上述的简化公式。

为了便于计算，人们广泛采用按分析解的级数第一项而绘制的一些线算图（诺曼图）。

其中用以确定温度分布的线算图称为海斯勒（Heasler ）图。

以无限大平板为例，它首先根据等式（4）中给出的0m θθ随O F 及i B 变化的曲线（此时0x=δ），然后再根据等式（5）确定m θθ的值。

于是平板中任意一点的0θθ值便为：mm 0θθθθθθ= (6) 无限大平板的0mθθ和mθθ的计算图[2]如图4和图5所示：Figure 4 无限大平板中心无量纲温度图Figure 5无限大平板的mθθ曲线图3.3模型求解设烤盘密度3/10.26m kg =ρ，比热容)./(904C kg J c =，导热率)/(120C m W ⋅=λ，对流换热系数)/(1002C m W h ⋅=，烤盘的宽度m 5.0=δ，烤箱内的温度C t f 200=。

当时间s 10=τ时，根据图4和图5和等式(6)得到若干大平板的温度和大平板距离的散点数据，拟合出大平板的温度和大平板距离的曲线如图6所示：Figure 6 大平板的温度和大平板距离的拟合曲线3.4四边形烤盘情况烤盘形状为四边形的受热情况：Figure 7 烤盘形状为四边形的受热图四边形的烤盘可以看做成由四个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：()()()()()board0board 0board 0board 004321--y,--,--y,--,--,,δδδδτττττθ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ff f f f f fff f t t t t t t t x t t t t t t t t x t tt t y x (7) 图像如图8所示：Figure 8 四边形烤盘的热量分布图3.5 五边形烤盘情况烤盘形状为五边形的受热情况：Figure 9烤盘形状为五边形的受热图五边形的烤盘可以看做成由五个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：()()()()board0board 0board 00521--,--,--,--,,δδδττττθ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ff f f ff f f t t t x t t t t y t t t t x t t t t y x (8) 图像如图10所示：Figure 10五边形烤盘的热量分布图3.6 多边形烤盘情况烤盘形状为n 边形的受热情况：：Figure 11烤盘形状为n 边形的受热图n 边形的烤盘可以看做成由n 个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：()()()()board0board 0board 00n 21--,--,--,--,,δδδττττθ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ff f f fff f t t t x t t t t y t t t t x t tt t y x (9) 图像如图12所示：Figure 12多边形烤盘的热量分布图4烤盘数量最优模型当用相同多的材料做成烤箱时，存在以下等式：ont C W L =+式中，L 为烤箱的长度，W 为烤箱的宽度，ont C 为常数。