τ
∴yzs (t) = ∫ f (τ)h(t τ)d τ
t0
t
2.物理意义: 2.物理意义: 物理意义 LTIS在任意时刻 LTIS在任意时刻t对任意激励的零状态响应等于从激励函 在任意时刻t 数开始作用的时刻( 数开始作用的时刻( = t0 到指定时刻(τ = t 区间内,无 )区间内, τ )到指定时刻( 穷多个幅度不同,连续出现的冲击响应的总和. 穷多个幅度不同,连续出现的冲击响应的总和. 这就是说,输入f 这段时间内电路的连续作用, 这就是说,输入f(t)从t=t0到t 这段时间内电路的连续作用, 可以用一序列冲击信号对电路激励去等效, 可以用一序列冲击信号对电路激励去等效,每个冲击信号
∞ ∞ ∞ ∞
∞
= ∫ f1(λ)[∫ f2(τ)] f3(t τ λ)dτ]dλ
∞ ∞
= f1(t)[ f2(t) f3(t)]
卷积的微分和积分: 二.卷积的微分和积分: 卷积的微分和积分 1.微分: 微分: 微分
d df2(t) df1(t) [ f1(t) f2(t)] = f1(t) = f2(t) dt dt dt
k=∞
yn (t) = ∑ f (kτ)τhn (t kτ) = ∑ f (kτ)hn (t kτ)τ
n=∞
和→积 分 当 (τ →0)时,τ → dτ, kτ → dτ , 求
任意信号:
f (t) = ∫ f (τ)δ(t τ)d τ
∞
∞
任意信号产生的零状态响应:
yzs (t) = ∫ f (τ)h(t τ)d τ
则有:
df1(t) t ∫ f2(λ)dλ y(t) = f1(t) f2(t) = ∞ dt
推论:
y (t) =[ f
(i)
( j) 1
(t) f
(i j) 2
(t)]
例:
dδ(t) t U(t)*U(t) = *∫ U(t)dt =δ(t)*tU(t) = tU(t) ∞ dt
三,与冲击函数或阶跃函数的卷积 1,与冲击函数的卷积:
∞ t
t
= f2(t)∫ f1(λ)dλ
∞
∫
t
∞
[ f1(λ)f2(λ)]dλ = ∫ [∫ f1(τ) f2(λ τ)dτ]dλ
∞ t ∞
t
t
= ∫ f1(τ)[∫ f2(λ τ)dλ]dτ
∞ ∞
t
= f1(t)∫ f1(λ)dλ
∞
t
3. 高阶导数和多重积分 设:
y(t) =[ f1(t) f2(t)]
1 ≤ t <1 2
t-2
t
0 h(t τ ) -1/2 1 t t (c) 1 ≤ t ≤ 3 f( τ ) h(τ )
τ
f( τ )
h(t τ )
f( τ )
h(t τ )
15/16 9/16 -1/2 0 1 3/2 2 (f) t
-1/2 0 t-2 1 (d)
t
t
τ
0 -1/2 1
t-2 t
5.4 电路系统对任意激励 的零状态响应- 的零状态响应-卷积积分
5.4.1 卷积积分定理: 卷积积分定理:
1.卷积积分定理:任一LTIS对任意激励信号 的零状态响应 卷积积分定理:任一 对任意激励信号f(t)的零状态响应 卷积积分定理 对任意激励信号 应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分. 应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分.即:
其余
f(t)
t<0 t>0
A 0 a
B
h(t)
Be-αt
0 t
t
(a)
f(t) A 0 a τ A 0
( b)
f(t)
(C)
( d)
a t
τ
(2)计算卷积积分:
y(t) = f (t)*h(t)
ⅰ.t<0, f (τ)和 (t τ) 无重叠. h ⅱ.0≤t≤a,tl1=0, tl2=-∞,选tr1=a, tr2=t
f (t)
R = 6
iL(t)
L= 2H
L diL(t) +iL(t) =δ(t) R dt R t R L ∴h(t) = e U(t) =3e3tU(t) L
(2)卷积求yzs(t) )卷积求y
τ iL(t) = ∫ f (t τ)h(τ)d = ∫ 2e(tτ ) 3 3τ dτ e
0 0
f (t)*δ(t) = f (t)
证明:
抽样性
f (t)δ(t) = ∫ f (τ)δ(t τ)dτ
∞ ∞
∞
= ∫ f (τ)δ(τ t)dτ
∞
1 t-2
1 -2 0 (c)
τ
0 t (d)
τ
(1)褶叠: (将横轴t→ (2)平移 (3)相乘积分
τ , h(τ) 对褶过去)
(2). 卷积积分积分限的确定原则: 若函数 f1( )和2(t τ) 的非零值左边界(即函数不为0的最小 的非零值左边界(即函数不为0 τ f 值)分别为t 值)分别为tl1和tl2,其非零值右边界(即最大的 τ 值)分别 积分下限取它们左边界的最大者,而积分上限取它们右边 界中的最小者.
为tr1和tr2,则积分下限为max[tl1,tl2],上限为min[tr1,tr2].即τ ,则积分下限为max[t ,上限为min[t
h(t τ )
t t-2
f(τ )
h(t τ )
f( τ )
f( τ )
-1/20 1 (a) ∞ < t ≤
1 2
τ
t
τ
t-2 -1/20 t 1 (b)
∞ ∞
τ t λ 令 =-
则 τ = λ t d = d λ -τ
∞ ∞
∴ f (t) = ∫ f2 (λ) f1(t λ)dλ = f2 (t) f) [ f2 (t) + f3 (t)] = f1(t) f2 (t) + f1(t) f3 (t)
f(t) A 0 a
B
h(t)
Be-αt
0 t
t
(a)
f(t) A 0 a τ A 0
( b)
f(t)
y(t) = ∫ f (τ)h(t τ)dτ
0
t
= ∫ ABe
0
t
α(tτ )
dτ =
AB
α
(1eαt )
(C)
( d)
a t
τ
ⅲ. t≥a ,tl1=0, tl2=-∞,tr1=a, tr2=t
τ
2. 利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法: 利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法: 方法步骤: 方法步骤: 求出系统的冲击响应h (1)求出系统的冲击响应h(t) 代公式进行卷积积分,或利用卷积性质,求得y (2)代公式进行卷积积分,或利用卷积性质,求得yzs(t) 例1:已知图示电路,(1)输入为 2etU(t) A电流,求响应 已知图示电路,( ,(1 电流, iL(t).(2)输入为 2e(t2)U(t 2) A电流,求响应i'L(t) .(2 电流,求响应i' 1.( 求得电路的冲击响应: 解: 1.(1)求得电路的冲击响应: 因为电路KCL: 因为电路KCL: KCL
证明:
d d [ f1(t) f2 (t)] = d t d t
∫
∞
∞
f1( ) f2 (t τ)d τ τ
d 2 (t τ) f = ∫ f1( ) τ d τ ∞ d t d 2 (t) f = f1(t) d t
∞
同理可证第二等式
2.积分 2.积分
∫
证明:
t
∞
[ f1(λ)f2(λ)]dλ = f1(t)∫ f2(λ)dλ
yzs (t) = yzs1(t) + yzs2(t) = (1e )U(t) (1e
t (t ) 1
)U(t 1 )
3.LTIS的完全响应: 利用卷积求得系统零状态响应,再与系统零输入响应叠加, 即求得系统的完全响应为: (设系统特征根互异)
y(t) = yzp(t) + yzs (t) = ∑A e + ∫ f ( )h(t τ)dτ τ zp
yzs (t) = ∫ f (τ)h(t τ)dτ = ∫ f (t τ)h(τ)dτ = f (t)h(t)
t0 t0
t
t
P n (t)
1 τ
h n (t )
LTIS
τ
δ(t) = lim P (t) n
τ → 0
证明:因为任意信号f(t)可以分解为宽度为 τ 的无穷多个窄脉 任意信号f 冲信号的迭加
λit
i= 1 0
n
t
4.卷积的图形解法 4.卷积的图形解法 (1). 卷积的图形解释: 卷积实际上是一种数学工具,我们可以用图解法来清楚的说 明其含义. h(t)h( τ )
f (t) → f (τ )
tr1 tτ
设:
ta1 -1/2 0 1 (a)
1 0 (b)
τ 2 t
h(τ )
h(t τ )
1
(d)
1 t2 t 3 f (t) h(t) = ∫ 1× (t τ)dτ = + + t2 2 4 2 4
1
(e)
f (t) h(t) = 0
例:求如图(a)(b)所说函数f(t)和h(t)的卷积积分. 解: (1)写出表达式:
A f (t) ={ 0 0 h(t) ={ αt Be
0 <t < a
3.结合律: 3.结合律: 结合律
[ f1(t) f2 (t)] f3 (t) = f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]