一元二次方程各种题型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一元二次方程各种题型总结（一）一元二次方程的概念 1．一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）x x 3252=- （2）015622=--x x （3）5)2(7)1(3-+=+y y y （4）22)3(4)15(-=-a a （5）m m m m m m 57)2())((2-=-+-+ 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1)m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程？（2）若分式01872=---x x x ，则=x .3．由方程的根的定义求字母或代数式值（1）关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a ．（2）已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a ．（3）已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值．（二）一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）2169(3)289t -=（3）03612=+y （4）0)31(2=-m（5）22(31)85n +=2．用配方法解方程：（1）0522=-+x x （2）0152=++y y（3）3422-=-y y3．用公式法解下列方程：（1）2632-=x x （2）p p 3232=+（3）y y 1172= （4）2592-=n n（5）2(2)(21)3m m m +=--- 4．用因式分解法解下列方程：（1）09412=-x （2）04542=-+y y（3）281030m m +-= （420=（5）26t -=（6）2(5)2(5)1y y -=--（7）222(3)2(3)80t t t +-+-=5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）6(2)(2)(3)y y y y -=-+ （4）3)13(2)23(332-+-=+y y y y y（5）2281(25)144(3)m m -=-6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）223421y a ay a +=-+（3）n m nx x n m -=++2)(2 （0≠+n m ） （4）2222(1)(1)(1)a t t a t a t -+--=-（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况： （1）4x x x 732=+- （2）23(2)4y y +=（3）245t +=2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962=+-x kx （1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根3．已知关于x 的方程m x m x -=+-1)2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根． 4若方程054)1(222=-++++a a x a x 有实数根， 求正整数a 的值.5．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.6．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根.7．设m 为整数，且404<<m 时，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根．（四）一元二次方程的应用1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.3．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册4．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率（不计利息税）5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元6．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距102千米7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. 8．如图，东西和南北向两条街道交于O 点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O 点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米时，每个人的位置．9．已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值．东10．一次函数6+-=x y 和反比例函数ky x=，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点（2）设（1）中的两个公共点为A 、B ，AOB ∠是锐角还是钝角？十二、补充习题1．方程260x x +=的解是（ ）．A ．10x =，26x =-B ．10x =，26x =C ．6x =-D ．0x = 2．方程2(23)(32)0x x -+-=的解是（ ）．A ．123x =，21x =- B ．123x =，21x = C ．123x =，213x = D ．1223x x == 3．已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根，则21a -的值是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）． A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．0.5 5．已知下列方程：1246x x +=-，6285x x -+=，4111x x -=-，231433x x +-=，其中，整式方程的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 6．方程222x x x x +=--的根是（ ）． A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．1或27．用换元法解方程213()(3)2x x x x ---=-时，如果设1x y x-=，那么原方程可化为（ ）． A ．2320y y ++= B ．2320y y --= C ．2320y y +-= D ．2320y y -+=8．*方程22653x xx x -=+-的实根的个数是（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．没有 9．如果26910xx -+=，那么3x的值等于（ ）． A ．1 B ．1- C ．2- D ．1±10．冰雪节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元．出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．若设参加游览的学生共有x 人，则所列的方程为（ ）． A ．18018032x x -=+ B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x-=- 11．用直接开平方法解下列各方程：（1）20.010y -=； （2）210.503m -=； （3）2(3)2t -=； （4）2(31)90x +-=． 12．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --=； （2）2324y y -=；（3）22300t +-=； （4）211063m m +-=．13．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --=； （2）2227p p +=；（3）23412y y =-； （4）3(32)1t t -=-．14．用因式分解法解下列各方程：（1）230x =； （2）7(3)39y y y -=-；（3）2(1)2(1)3m m+-+=；（4）224(3)25(2)p p+=-．15．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；若有错，请你写出正确答案．已知m是关于x的方程220mx x m-+=的一个根，求m的值．将x m=代入原方程，化简，得3m m=．两边同除以m，得21m=，所以1m=．把1m=代入原方程检验，可知1m=符合题意，所以m的值是1．16．要使关于x的方程210x bx++=与20x x b--=有且只有一个公共根，求b的值．17．是否存在使函数23102x xyx--=+的函数值为0的x值，若存在，就把它求出来；若不存在，请说明理由．18．*解下列方程：（1）63371x xx x+-=+；（2）256011x xx x⎛⎫-+=⎪++⎝⎭．19．一个两位数，两个数位上的数字之和为6，两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数．60cm80cm20．已知：如图，在一块长80cm，宽60cm的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积是15002cm的没有盖的长方体盒子，问截去的小正方形边长是多少？21．某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深多2.3米，渠底宽比渠深多0.3米．（1）渠道的上口与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？22．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年．如果第一年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第三年平均每年的折旧率．23．某工厂2007年初投资100万元生产某种新产品，2007年底将获得的利润与年初的投资的和作为2008年初的投资，到2008年底两年共获利润56万元．已知2008年的年获利率比2007年的年获利率多10个百分点，求2007年和2008年的年获利率各是多少？24．某农户种植花生，原来种植的花生单位面积产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每单位面积收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生的出油率的增长率是单位面积产量的增长率的一半，求新品种花生单位面积产量的增长率．拓展练习1．已知关于x 的方程2340mx x -+=，如果0m <，那么此方程的根的情况是（ ）．A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．没有实根D ．不能确定2．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）．A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．没有实根D ．不能确定3．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）．A ．2m ≠B ．6m ≤且2m ≠C ．6m <D ．6m ≤4．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（ ）．A ．B ．±．3或4- D ．35．若关于x 的方程2430kx x -+=有实根，则k 的非负整数值是（ ）．A ．0，1B ．0，1，2C ．1D ．1，2，36．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ）．A ．1B ．17C ．6.25D ．0.257．已知1x 、2x 是方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于（ ）．A ．2a c + B ．2a c -- C ．2a c -+ D ．2a c - 8．设1x 、2x 是方程22630x x -+=的两个实数根，则122111()()x x x x ++的值为（ ）． A ．146 B ．253 C ．16- D ．146-9．方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于（ ）．A ．4B ．4-C ．3D ．510．已知一个直角三角形的两条直角边的恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．AB ．3C ．6D ．9。