第四章 回归分析课后作业参考答案炼铝厂测得铝的硬度x 与抗张强度y 的数据如下：i x68 53 70 84 60 72 51 83 70 64 i y288 298 349 343 290 354 283 324 340 286(1)求y 对x 的回归方程(2)检验回归方程的显著性(05.0=α) (3)求y 在x =65处的预测区间(置信度为 解：(1) 1、计算结果一元线性回归模型εββ++=x y 10只有一个解释变量其中：x 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数，ε位随机干扰项。

()()()()685.222,959.4116,541.35555.76725.19745.109610,5.3151,5.671221212112121211=-==-====-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n yyy L y x n y x y y x x L x n xxx L n y n y x n x ee yy e xxxyni ini i yy ni i i n i i i xy ni ini i xx ni i n i i σ使用普通最小二乘法估计参数10,ββ上述参数估计可写为95.193ˆˆ,80.1ˆ101=-===x y L L xxxy βββ 所求得的回归方程为：x y80.195.193ˆ+= 实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加个单位。

2、软件运行结果 根据所给数据画散点图过检验由线性回归分析系数表得回归方程为：x y801.1951.193ˆ+=，说明x 每增加一个单位，y 相应提高。

(2) 1、计算结果①回归方程的显著性检验(F 检验):0H 线性回归效果不显著 :1H 线性回归效果显著()91.62/=-=n Q UF e在给定显著性水平05.0=α时，()()F F n F <==--32.58,12,195.01α，所以拒绝0H ，认为方程的线性回归效果显著 ②回归系数的显著性检验(t 检验)0:10=βH 0:11≠βH()628.22/ˆ1=-=n Q L t e xx β在给定显著性水平05.0=α时，()()t t n t<==--306.282975.021α，所以拒绝0H ，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。

③回归方程的线性显著性检验(r 检验):0H x 与y 线性无关 :1H x 与y 线性相关681.0==yyxx xy L L L r在给定显著性水平05.0=α时，()()r r n r <==--6319.08295.01α，所以拒绝0H ，认为x 与y 之间具有线性关系。

2、软件运行结果模型 R 2R修正的2R估计的学生误差1(a)由上表得r =，说明y 和x 的之间具有线性关系。

模型 平方和自由度平均平方值F 值P 值 1 回归平方和 1 (a) 残差平方和 8总平方和9由方差分析表知，p 值小于给定的α，说明回归方程通过F 检验，回归方程显著。

模型 非标准化系数标准化系数T 值 P 值 95% 系数的置信区间β值学生残差β值下限 上限 1 常数项x由线性回归分析系数表知，p 值小于给定的α，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。

综上所述，建立的回归方程通过以上的r 检验、F 检验、t 检验，证明回归方程效果显著。

(3)当0x =65时，代入上述回归方程得0y =()()()xxe L xxnn t x 2010112ˆ-++-=-ασδ在1-的置信度下，0y 的置信区间为()()[]0000ˆ,ˆx y x yδδ+- 95%置信度下的预测区间为 [ ]。

在硝酸钠(3NO N a )溶解度试验中，对不同温度C t 0测得溶解于100ml 的水中的硝酸钠重i t0 4 10 15 21 29 36 51 68 i y(1)求回归方程(2)检验回归方程的显著性(3)求y 在C t 025=时的预测区间(置信度为 解： (1) 1、计算结果一元线性回归模型εββ++=x y 10只有一个解释变量其中：t 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数，ε位随机干扰项。

()()()()015.12,208.7,25.308646.30938.353940609,2.901,261221212112121211=-==-====-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n yyy L y x n y x y y x x L x n xxx L n y n y t n t ee yy e xxxyni ini i yy ni i i n i i i xy ni ini i xx ni i n i i σ使用普通最小二乘法估计参数10,ββ上述参数估计可写为5313.67ˆˆ,8719.0ˆ101=-===x y L L xxxy βββ 所求得的回归方程为：t y8719.05313.67ˆ+= 实际意义为：在温度为0时，硝酸钠的溶解度为，温度每升高一度，溶解度增加。

2、软件运行结果 根据所给数据画散点图由线性回归分析系数表得回归方程为：t y872.0531.67ˆ+=，说明温度每增加一度，溶解度相应提高。

(2) 1、计算结果①回归方程的显著性检验(F 检验):0H 线性回归效果不显著 :1H 线性回归效果显著()359.29962/=-=n Q UF e在给定显著性水平05.0=α时，()()F F n F <==--59.57,12,195.01α，所以拒绝0H ，认为方程的线性回归效果显著 ②回归系数的显著性检验(t 检验)0:10=βH 0:11≠βH()735.542/ˆ1=-=n Q L t e xx β在给定显著性水平05.0=α时，()()t t n t<==--3646.272975.021α，所以拒绝0H ，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。

③回归方程的线性显著性检验(r 检验):0H t 与y 线性无关 :1H t 与y 线性相关999.0==yyxx xy L L L r在给定显著性水平05.0=α时，()()r r n r <==--6664.07295.01α，所以拒绝0H ，认为t 与y 线性相关。

2、软件运行结果模型 R 2R修正的2R估计的学生误差1(a)由上表得r =，说明y 和t 之间线性关系显著。

模型 平方和自由度平均平方值F 值P 值 1 回归平方和 1 (a) 残差平方和 7总平方和8由方差分析表知，F 值很大，p 值很小，回归方程通过F 检验，说明回归方程显著。

模型 非标准化系数标准化系数T 值 P 值 95% 系数的置信区间β值学生残差β值下限 上限 1 常数项t由线性回归分析系数表知，p 值很小，通过t 检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。

综上所述，建立的回归方程通过以上的r 检验、F 检验、t 检验，证明回归方程效果显著。

(3)当0x =25时，代入上述回归方程得0y =()()()xxe L xxnn t x 2010112ˆ-++-=-ασδ在1-的置信度下，0y 的置信区间为()()[]0000ˆ,ˆx y x yδδ+- 95%置信度下的预测区间为 [ ]。

对同一个问题，两人分别在做线性回归。

甲：取样本值()111,,2,1,,n i y x i i Λ=，得回归方程x b a y 11ˆˆˆ+= 乙：取样本值()222,,2,1,,n i y x i i Λ=，得回归方程x b a y 22ˆˆˆ+= (1)如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平α) (2)若相等，如何求一个共同的回归方程 解：①检验222101:σσ=H若()1,121212221-->=-n n FQQ F e e α，则拒绝01H其中2221e e Q Q ≥ ②检验2102:b b H = 若()411ˆˆˆ2121212211-+>+-=-n n tL L b b t x x x x e ασ，则拒绝02H其中4ˆ212221-++=n n Q Q e e e σ③检验2103:a a H = 若()411ˆˆˆ21212121212211-+>+++-=-n n tL x L x n n a at x x x x e ασ，则拒绝03H这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。

(2)共同的回归方程为：x b a yˆˆˆ+= 其中，2211222121ˆˆˆx x x x x x x x L L L b L b b ++=2122112121221122112221ˆˆˆˆn n x n x n L L L b L b n n y n y n x b y a x x x x x x x x ++⨯++-++=-=某化工厂研究硝化得率y 与硝化温度1x 、硝化液中硝酸浓度2x 之间的统计相关关系。

进行10次试验，得实验数据如下表：()C x i 01()%2i x()%i y试求y 对21,x x 的回归方程。

解：用所给的数据建立多元回归方程并进行检验由上表得r =，说明y 和x 的之间线性关系显著。

由方差分析表知，F 值很大，p 值很小，回归方程通过F 检验，说明回归方程显著。

由线性回归分析系数表知，1x 和2x 的p 值都很小，通过了t 检验，认为回归系数显著，说明硝化温度和硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。

通过以上的r 检验、F 检验、t 检验，证明回归方程效果显著。

最后得到的回归方程为：21352.0336.0798.51ˆx x y++= 说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加%；硝化液中硝酸浓度每增加1%，硝化得率增加%。

某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x （kg ）对28天后的混凝土抗压强度y(3/kg cm )的影响，测得如下数据（1）求y 对x 的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少（2）检验线性回归方程效果的显著性（0.05α=）； （3）求回归系数1β的区间估计（10.95α-=）； （4）求022.5()x kg =时，0y 的预测值及预测区间。

解：1.计算结果（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量01Y X ββε=++Y 为被解释变量，X 为解释变量，0β与1β为待估参数， ε为随机干扰项。

用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS ）估计0β和1β记()22221)(∑∑∑∑-=-=i i i i X n X X X x上述参数估计量可以写成：带入数字得：()()()()()122221150*56.9260*89.715026056.989.7120.304115026015026012i iix y xβ∧++-++++===++-++∑∑LL L L L ()0111(56.989.7)0.304**15026010.2831212Y X ββ∧∧=-=++-++=L L 所以求得的回归方程为：y=+，即 x 每增加一个单位，y 相应提高22010111(,)()nnii i i i Q Q Y X ββεββ=====--∑∑最小010101,ˆˆ(,)min (,)Q Q ββββββ=即，∑∑∑∑∑-=--=i i i i i i i i Y X n Y X Y Y X X y x 1))((（2）回归方程的显著性检验：总体平方和,简记为S 总或Lyy回归平方和,记为S 回或U残差平方和,记为S 残或QeSST=SSE(Qe)+SSR(U)对总体参数1β提出假设H0： 1=0， H1：10因为所以，拒绝原假设。