在α内过O作OC⊥AB交PM于C， 在β内作OD⊥AB交PN于D， A P 连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
C Mα
O
B
D Nβ
∴CO=a， DO= a ， PC 2 a ， PD 2 a C 又∵∠MPN=60º
∴CD=PC 2a
1、平面的斜线和平面所成的角


平面的一条斜线
和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这 条直线和这个平面所 成的角。
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们 所成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
1
例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求AD1 和平面A1D1CB所成的角。
直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定
为（0,π）。
8
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明此平面角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
9
16
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
∴∠COD=90º
P aO
因此，二面角的度数为90º
13
2 2
，PO

1 2
∴ tan PEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C
的正切值为 2
2
P
EB
O
C
11
线段MN长6，M到平面β的距离是1，N到平面 β的距离是4，求MN与平面β所成角的余弦值。
N ∠MOM'就是MN
与平面β所成的角 N
M O M' β
移出图 N'
M6
4
1
O
N'
M'
解：当M，N在平面同则时有
PB=AB=1，BC= 2 ，求二面角P-AB-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OEO⊥E∥ABBC，且因O此EPE12⊥BACB
A
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE
1 2
，PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE
有关吗?为什么?
AOB = AOB
O l
A
B
注无:关（等，1）角只二与定面二理角面的：角平的如面张果角角与一大点小个的有角位关置的。 两（边2）和二面另角一是个用它角的的平两面角边来分度别
量的平，行一，个二并面且角方的向平面相角同多，大，那就么
O
B A
说这这（个两3）二个平面面角角角是相是多等直少角。度的的二二面面角角叫。做
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角
内一点，且P到两个半
β
平面的距离都等于P到
B
p
棱的距离的一半，则这
个二面角的度数是多少？
O
α A
60º
ι
10
3．如图，三棱锥P-A 斜 边 AC 的 中 点 O ， 若
D1
C1
分析：找出AD1在平 面A1D1CB内的射影。
A1
B1
O
OA

1 2
AD1
D
C
AD1O 300.
A
B
求直线（或斜线）与平面所成的角关键
是确定斜线在平面的射影
其步骤是：一找，二证，三求。
2
半平面及二面角的定义
1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成
两部分，每一部分都叫做半平面。
2、二面角：
OM 1
sin MOM '
OM 6 4
OM=2
cos MOM '
1 2 3
.
212
二面角
如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别 在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
从一条直线引出的两个半平面所组成的
图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的
棱，这两个半平面叫做二面角的面。

半
半
l 平
平
面
面

棱l
3
二面角的画法与记法
2、二面角的记法： 面1－棱－面2
（1）、以直线l 为棱，
以 ,为 半平面的二
面角记为： l
（2）、以直线AB 为棱，
以 , 为半平面的二面角
记为： AB

l

B

A
4
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
二面角 A 棱a 面 B面
定义 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
构成
边—点—边 （顶点）
表示法
∠AOB
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
面—直线—面 （棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
5
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
注 1）角的顶点在棱上 意 2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
A
B
O
6
二面角的 平面角的定义、范围及作法
思考: AOB的大小与点O在L上的位置