y(t) y1(t) y2(t) y1(t) y1(t t0)
于是得到阶跃响应为
y1(t) y(t) y1(t t0)
t=0～t0 阶跃响应曲线与矩形脉冲
响应曲线重合
t=0～2t0 时， y1(2t0 ) y(2t0) y1(t0)
三、常用数学模型
在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构
第二章 被控过程的数学模型
第一节 概述 第二节 解析法建立过程的数学模型 第三节 响应曲线辨识过程的数学模型 第四节 相关函数法辨识过程的数学模型
重点内容
对象模型（连续、离散） 理论建模 实验建模 混合建模
第一节 概述
过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构 及其特性所决定。
基本概念：
对于大多数过程，数学模型 和传递函数分别为：
一阶惯性
G(s) K0 T0s 1
对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：
G(s) 1 T0 s
一阶惯性+纯滞后 G(s) K0 e-s T0s 1
G(s) 1 e-s T0 s
二阶惯性
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)
G(s) 1 T1s(T2s 1)
q 2
h R2
带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式
dh R2 A dt h R2q1
进行拉普拉斯变换， 并写成传递函数形式
G(s) H (s) R2 K Q1(s) R2Cs 1 Ts 1
其中：
T R2C 为被控过程的时间常数
K R2 为被控过程的放大系数
C 为被控过程的容量系数，或称 过程容量，这里 C A
过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
第二节 解析法建立过程的数学模型
解析法建模的一般步骤
1） 明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2） 依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写
静态方程或动态方程； 3） 消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率几乎 为零，之后斜率增大，到某点后 斜率又减小，曲线呈S形。
1. 作图法确定模型参数
对象
G(s) K0 e-s T0s 1
参数K0
K0
y() x0
参数T0和τ ：过D点作曲线的切线，该切线与y(∞)、X轴
线交于A点和B点，则BA在时间轴上的投影为C。
0 可以按 T0
t1 t2 2.16n
其中n可以根据的
t1 t2
大小由下表确定
近似计算
n1
234
5
67
8 10 12 14
t1/t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.67 0.68 0.71 0.73 0.75
5
5
高阶过程的n与
t1 t2
的关系
（4）确定二阶时延环节的参数
建立过程数学模型的基本方法：
解析法：
又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知的 静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建立 过程的数学模型。 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。
混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通
二阶惯性+纯滞后 G(s)
K0
e- s
(T1s 1)(T2s 1)
G(s)
1
e- s
T1s(T2s 1)
注意： 对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下， 数学模型结构应尽可能简单
（一）由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率最大， 之后斜率减小，逐渐上升至稳态值。
2、参数模型：微分方程、传递函数、脉冲 响应函数、状态方程、差分方程等，即都是 用数学方程式和函数表示
被控过程分为：
1、多输入、单输出
如图:
2、多输入、多输出
单回路控制系统框图
过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
1. 直角坐标图解法
对象
G(s) K0 T0s 1
y(t) K0 x0 (1 et /T0 )
参数K0
K0
y() x0
参数T0：过原点作曲线的切线，该切线与y(∞)交于A点， 则OA在时间轴上的投影即为时间常数
T0 的确定还可以使用计算法：
} y(t) K0 x0 (1 et /T0 )
y(t) y()(1 et /T0 )
y(t) |t y() K0 x0
令t分别为 T0 2 T0 2T0 时，则有 y(T0 /2) 39% y()
y(T0 ) 63% y()
y(2T0 ) 86.5% y()
在阶跃响应曲线上求得 三个状态下的时间t1、t2、t3，计算出 T0
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
2. 计算法确定模型参数 在曲线上选取四个点：
（三）由阶跃响应曲线确定二阶过程的参数
T1和T2的确定采用两点法 取两点： 求解方程：
二阶惯性
G(s)
K0
(T1s 1)(T2s 1)
注意：用这种方法确定T1和T2时，应满足
0.32 t1 t2
0.46
试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。 在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法； 在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。
响应曲线法
响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入 产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应 曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，求取过程的输入 －输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法 和方波响应曲线法
一、 阶跃响应曲线法
注意事项 1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态； 2）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响
3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的 非线性程度； 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段 时间再做第二次试验 ；
5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利 影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影 响试验结果。
解 根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位
时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率
则有：
q1
ห้องสมุดไป่ตู้
q2
A dh dt
写为增量形式为
dh q1 q2 A dt
其中 q1, q2, h 分别为偏离某平衡状态的增量，A为贮罐的截面积。
假定
q 2与h
近似成正比而与阀门2的液阻 R2 成反比，即
方程或传递函数（脉冲传递函数）等；
被控过程的特点：
1、被控量 的变化往往 是不震荡、 单调的、有 滞后和惯性 的。
如图：
过程的阶跃响应曲线 a)
2、有的过 程响应也 可能不断 变化
如图：
过程的阶跃响应曲 b)
被控过程的自平衡能力和无自平衡能力
自平衡能力：
过程在输入量作用下，平衡状态被破坏后，无须人或仪器的干扰，依 靠过程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平衡状态，此特性称为自平 衡能力
0 τ0
t
❖ 有些对象容量滞后与
纯滞后同时存在，很难严格 Δh2（∞）
区分。常把两者合起来，统
称为滞后时间τ
τ=τ o +τc
0 τ0 τc
T0
t
例2-5 无自衡能力的双容过程 分别对水箱1和水箱2列写物料平衡方程，可以得到
无自平衡能力的多容对象的传递函数为：
若多容无自平衡对象具有纯迟延时，则
第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
Q2 T1
T2
220V
Q1
图2-5 电加热器温度对象
根据动态能量平衡关系
Q1
Q2
C
dT1 dt
Q2可表示为
Q2
1 R
(T1
T2 )
拉氏变换
Q1(s)
C
s
T1(s)
1 R
T1(s)
传递函数为
W0 (s)
T1 ( s) Q1 ( s)
R RCs 1
K Ts 1
例2-3 无自衡单容过程
Q1 Q2
h 定量泵
图2-6 单容无自衡液位过程 及其相应曲线
根据动态物料平衡关系
Q1
Q2
C
dh dt
Q2 常数
写成增量的形式为：
dh Q1 C dt
传递函数为
W0 (s)
H (s) Q1 ( s)
1 Cs
1 Ta s
二、多容过程的建模
以自衡特性的双容过 程为例，如图设q1为过 程 输入量，第二个液位槽的 液位h2为过程输出量， 若不计第一个与第二个液 位槽之间液体输送管道所 形成的时间延迟，试求 q解1与h根2之据间动的态数平学衡关关系系。，
与单容的自平衡阶跃响应过程相比较
二阶过程的阶跃响应曲线特点：被控参数的变化速度不
是一开始就最大，而是要经过一段延时时间后才达到最大
值，这段时延时间称为容量时延。
双容过程也可以用有时延的单容过程来近似：在S形曲
线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应
曲线的起点，
∆h2(t)=
-( t－τc)
变化后，q0需流经长度为 l 的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。