第5题 含参数的简易逻辑问题I ．题源探究·黄金母题【例1】下列各题中，那些p 是q 的充要条件？（节选） （1）p ：0b =，q ：函数()2f x ax bx c =++是偶函数； 【解析】,p q ⇔∴p 是q 的充要条件．精彩解读【试题来源】人教A 版选修1-1第11页例3． 【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易题．【思路方法】直接应用定义进行判断． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1a b ==时，有()21i 2i +=，即充分性成立．当()2i 2i a b +=时，有222i 2i a b ab -+=，得220,1,a b ab ⎧-=⎨=⎩解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A ． 【例3】【2014 福建理数】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“ABC △的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【解析】当1k =时，:1l y x =+，由题意不妨令()1,0A -，()0,1B ，则111122AOB S =⨯⨯=△，所以充分性成立；当1k =-时，:1l y x =-+，也有12AOB S =△，所以必要性不成立．【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件；若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件．【例4】【2014四川理数】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -．例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈．现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈．其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 【解析】依题意可直接判定①正确；令()(]()2,1x f x x =∈-∞，显然存在正数2，使得()f x 的值域(][]0,22,2⊆-，但()f x 无最小值，②错误；假设()()f x g x B +∈，则存在正数M ，使得当x 在其公共定义域内取值时，有()()f x g x M +…，则()()f x M g x -…，又因为()g x B ∈，则存在正数1M ，使()[]11,g x M M ∈-，所以()1g x M -…，即()1M g x M M -+…，所以()1f x M M +…，与()f x A ∈矛盾，③正确；当0a =时，()211,122x f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦，即()f x B ∈，当0a ≠时，因为()ln 2y a x =+的值域为(),-∞+∞，而211,122x x ⎡⎤∈-⎢⎥+⎣⎦，此时()f x 无最大值，故0a =，④正确．III ．理论基础·解题原理考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若p 则q ”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理． 考点二 与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题． 考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“∃”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．【技能方法】解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论【易错指导】（1）参数的边界值即是否取等号，容易出错；（2）判断充分条件和必要条件时，容易将方向弄错． V ．举一反三·触类旁通考向1 与充分条件、必要条件有关的参数问题【例1】【2018安徽滁州高三9月联合质检】“1a >-”是“函数()223f x x ax =+-在区间()1,+∞上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【例2】【2017湖南邵阳第二次联考】“1m >”是“函数()3x m f x +=-在区间[)1,+∞无零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若函数()3x m f x +=-在区间[)1,+∞无零点，则1313122m m m +>⇒+>⇒> 故选A ．【例3】【2017黑龙江哈尔滨第三中学高三二模】对于常数,m n ，“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根” 是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】D【解析】依题意，两个正根即2121240{00m n x x m x x n ∆=-≥+=>=>，令5m n ==，此时方程有两个正根，但是方程22551x y +=不是椭圆．反之，令1,12m n ==，方程2212x y +=是椭圆，但是21102x x -+=没有实数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件． 【例4】【2017江苏无锡模拟】若a R ∈，则复数3iia z -= 在复平面内对应的点在第三象限是0a ≥的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】∵33aiz a i i-==--，∴由题设可得00a a -⇒，因此不充分；反之，当00a a >⇒-<，则复数3z a i =--对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案B ．【例5】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[－2，5] 【解析】【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【跟踪练习】1．【2017湖北七市（州）3月联考】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵圆心到定直线的距离为，若半径，如上图，则恰有三个点到定直线的距离都是1．由于，故圆上最多有两个点到直线的距离为1；反之也成立，应选答案C ．2．【2017高三百校联盟】已知，，若的一个充分不必要条件是 ，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A3．已知:44;:(2)(3)0p a x a q x x -<<+-->，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[-1，6]【解析】∵⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．又∵:23q x <<，∴42,43a a -≤+≤，解得：16a -≤≤ ．考向2 与逻辑联接词有关的参数问题【例6】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点联考】已知命题000:,0,x p x R e mx ∃∈-=2:,10,q x R mx mx ∀∈++>若()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．[]0,4C ．[)0,e D ．()0,e 【答案】C【解析】由()p q ∨⌝为假命题可得p 假q 真，若p 为假，则xe mx =无解，可得0m e ≤<；若q 为真则04m ≤<，∴答案为C ．【例7】【2017四川资阳4月模拟】设命题p ：函数()()2lg 21f x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时， 1x a x +>恒成立，如果命题“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】()12，；【解析】解：由题意可知，命题,p q 均为真命题，p 为真命题时： ()2{240a a >∆=--< ，解得： 1a > ， q 为真命题时： ()1f x x x=+在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]1,2 上单调递增， min 11121x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故：2a <，综上可得，实数a 的取值范围是：()1,2． 【例8】【2017贵州校级联考】已知函数()()21ln 11f x x x =+-+，命题p ：实数x 满足不等式()()121f x f x +>-；命题q ：实数x 满足不等式()210x m x m -++≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】()02，【例9】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学联考】已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围． 【答案】．【解析】试题分析：根据指数函数的单调性求出命题p 为真命题时a 的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q 为真命题时a 的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或q 为真，p 且q 为假”转化为p ， q 的真假，列出不等式组解得． 试题解析：若p 真，则在R 上单调递减，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a ＜．若q 真，令f （x ）=x2-3ax+2a2+1，则应满足，又由已知“或”为真，“且”为假；应有p 真q 假，或者p 假q 真．①若p 真q 假，则， a 无解．②若p 假q 真，则．综上①②知实数的取值范围为．考点：１．复合命题的真假与简单命题真假的关系；２．二次方程实根分布．【例10】【2018安徽滁州9月联考】已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤； :q 函数221y x mx =-+有两个零点．(1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[)1,0-；（2）()[],10,1-∞-⋃．()22222e x e f x x x x='-=-，令()0f x '=，解得x =()22ln f x x e x =-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min 0f x f==，故0m ≥．若q 为真，则2440m =->， 1m >或 1m <-．(1)若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，实数m 的取值范围为[)1,0-． (2)若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则,p q 一真一假． 若p 真q 假，则实数m 满足0{11m m ≥-≤≤，即01m ≤≤；若p 假q 真，则实数m 满足0{11m m m <><-或，即1m <-．综上所述，实数m 的取值范围为()[],10,1-∞-⋃． 【例11】设命题p ：函数2()lg()16af x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：39x x a -<对一切的实数x 恒成立，如果命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【分析】首先分别将命题,p q 翻译成实数a 的取值范围，若命题“p 且q ”为假命题，则,p q 至少有一个假，分类讨论．【解析】20:2104a p a a >⎧⎪⇒>⎨=-<⎪⎩，21111:()39(3)2444x x x q g x a =-=--+≥⇒>． “p 且q ”为假命题，∴p ，q 至少有一假:（1）若p 真q 假，则2a >且1,4a a ≤∈∅； （2）若p 假q 真，则2a ≤且11,244a a ><≤；（3）若p 假q 假，则2a ≤且11,44a a ≤≤，2a ∴≤．【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，故先分别将简单命题翻译，根据其真假关系，转化为集合间的运算． 【跟踪练习】已知命题:p 函数()222f x x ax a =++的值域为[)0,+∞，命题:q 方程()()120ax ax -+=在[]1,1-上有解，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．考向3 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题【例12】【2017吉林三模】函数()f x 的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[],a b 内是单调函数；②()f x 在[],a b 上的值域为[],ka kb ，则称区间[],a b 为()y f x =的k 级“理想区间”．下列结论错误的是 A ．函数()2f x x =（x R ∈）存在1级“理想区间”B ．函数()()xf x e x R =∈不存在2级“理想区间”C ．函数()()2401xf x x x =≥+存在3级“理想区间” D ．函数()tan ,,22f x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭不存在4级“理想区间” 【答案】D【解析】易知[]0,1是()2f x x =的一级“理想区间”．A 正确；设()2xg x e x =-， ()'2x g x e =-，当ln2x <时， ()'0g x <，当ln2x >时， ()'0g x >，因此()()min ln222ln20g x g ==->，即()0g x =无零点，因此()x f x e =不存在2级“理想区间”，B 正确；由()24301x h x x x =-=+，得0x =或x =则⎡⎢⎣⎦是()241x f x x =+的一个3组“理想区间”，C 正确；借助正切函数图象知tan y x =与4y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内有三个交点，因此()tan ,22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有4级“理想区间”，D 错误，故选D ． 【例13】【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]13-，【点评】已知命题为假命题，则其否定是真命题，故将该题转化为恒成立问题处理．【跟踪练习】已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x ＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是______________．【答案】(－∞，－2]考向4 与全称量词、特称量词有关的参数问题【例14】【2017北京西城区二模】函数．若存在，使得，则k 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】将函数的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象， 函数是R 上的单调递增函数，则 也是R 上的单调递增函数，则满足题意时：只需当时 成立，分类讨论：当时： ，解得： ，此时： ， 当 时： ，解得：，此时： ，综合以上两种情况可得k 的取值范围是． 点睛：无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决．但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定要分类讨论．【例15】【2018江苏横林高级中学模拟】若命题“t R ∃∈， 20t a -<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】()0,+∞【解析】2a t >，由于20t ≥，命题“t R ∃∈，20t a -<”是真命题，则0a >，实数a 的取值范围是()0,+∞．【例16】【2017湖北省黄冈模拟】若命题“2000,20x R x x m ∃∈-+≤”是假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】∵命题“2000,20x R x x m ∃∈-+≤”是假命题，∴2R,20x x x m ∀∈-+<为真命题 ，即440,1m m ∆=-<> ，故答案为()1,+∞．【例17】【2017江苏盐城三模】若命题“t R ∃∈，220t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],1-∞-【解析】2,20t R t t a ∀∈--≥ 为真命题，∴440 1.a a ∆=+≤⇒≤-【例18】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为_______________．【分析】若命题“p 且q ”是真命题，则命题,p q 都是真命题，首先将命题,p q 对应的参数范围求出来，求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题，命题q 是有解问题．【例19】【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1a ≤【解析】由题设方程022=++a x x 有解，故044≥-a ，即1≤a ，故应填答案1a ≤．【跟踪练习】已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f(x 1)= g(x 2)，则实数a 的取值范围是___________________． 【答案】]3,35(。