同伦和基本群
在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！
几个概念：
1。
道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。
若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。
若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。
2。
同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x),
F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。
例：
1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。
可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||；
2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的；
可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)；
3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦；
3。
空间的同伦
两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射；
如：圆环和圆周就是同伦等价的；
注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价，
因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。
但同伦推不出同胚，
如上例。
在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。
在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系：
r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。
可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。
设B是由
所有的等价类构成的集合，在该集合上定义乘法为：[r1]*[r2]=[r1*r2]。
则可以证明
给集合对于这个运算具有群的结构，成为X在点a的基本群，记为Pi[X,a]。
例：
若X为圆盘，任取a属于X,则对于X中的任何以a为基点的环道r，由上面的3）知r与a同伦，从而，B中只含有一个等价类，从而Pi[X,a]={e}；
定理：若X为道路连通，则对于任何两点p,q,有Pi[X,p]=Pi[X,q]。
该定理表明道路连通空间的基本群和基点的选择无关。
对于一般的拓扑空间X，基本群的计算是个很复杂的问题，可以使用棱到群或群在拓扑空间上的作用等来计算。
下面，我列举了几种空间的基本群：
空间X 基本群
凸图形{e}
S1 Z
Sn(n>1) {e}
环面Z*Z
射影平面Z2
定理：若两个（道路连通的）空间X和Y同伦，则Pi[X,p]=Pi[Y,q]。
该定理说明，基本群是空间的同伦不变量。
由于圆环和圆周是同伦的，
从而他们具有相同的基本群Z。
又由我们前面的讨论知道，同伦不变量是更强的不变量，从而也一定是
同胚不变量。
根据这点，我们可以区分一些连通性不能区分的拓扑空间。
从上面的计算，我们知道圆盘和圆环的基本群分别是{e}和Z,从而圆盘和
圆环是不同胚的。
例：利用基本群区分空间R2和R3。
因为R2去掉一点后与圆环具有相同的基本群，而R3去掉一点后的基本群
是{e}。
从而可以肯定R2和R3不同胚。
有了基本群后，我们可以区分很多空间。
但进一步的学习发现，基本群只
和空间的二维构架有关，而与三维构架无关。
所以，利用基本群我们可以区分
S1和S2(R2与R3),但是对于S2与S3(R3与R4)则无能为力。
要想区分他们，必须
进一步的不变量：同调群。
一条曲线固定端点后形变为另外的线段，我们称这两条曲线同伦。
数学上用映射的方式定义同伦，此时的映射称为同伦或者伦移，同伦对应了一个单参数连续映射族。
我们先从直观上绕过这个映射，因为对于基本群（一阶同伦群）的讨论，并不是一定要用映射，如果不考虑绝对严格性的话。
一个空间如果与独点空间同伦，即说其是可压缩的，显然，R^n中任意凸子集都是可压缩的，直观上说，可以收缩为一点的空间，就是可压缩的。
圆周乃至n维球面S^n都是不可压缩的。
我们进一步考虑同伦，如果曲线两端是同一点，即曲线为闭曲线，此时闭曲线的连续变化，所有可以建立同伦等价的闭曲线形成一个同伦等价类，这个点我们称为“基点”。
一个单连通空间中，任意点为基点，形成的简单闭曲线总是同伦的，于是同伦等价类中只有一个元素。
绕这个基点转一圈（所有可以建立同伦的圈都视为一个等价类，“等同”一个圈）作为一个群元，逆着转一圈作为这个群元的逆元，不动，就是单位元，于是就形成一个群，这个群被称为基本群，也被称为“Poincare群”，但是现在大多数文献用前一个名称，而“Poincare群”被用来命名量子场论和相对论中的非其次Lorentz群。
基本群在拓扑学中有基础重要性。
基本群不以来与基点的选取。
单连通空间的基本群为平凡群（零元群），事实上拓扑学上用基本群平凡来定义单连通：基本群平凡的道路连通空间为单连通空间。
由于可压缩空间的基本群与独点空间一样为平凡群，于是可压缩空间为单连通空间。
利用覆盖映射的相关技巧，可以证明圆周的基本群是无限循环群Z，射影平面基本群为二阶群Z_2。
n维球面S^n的基本群是平凡群，最简单的例子是S^2上任意点为基点的任意闭曲线都是同伦（闭路同伦）的。
但是S^2本身非零伦，因为S^2无法压缩到一点。
我以前之考虑了R^n中的局部曲面，于是在这方面出现了失误。
的确，局部曲面只要单连通就自然可以收缩到一点，也就使零伦的。
这一点感谢道法自然兄指出，只是开始时我还以为他说的是基本群与单连通的关系出现问题，所以我驴唇不对马嘴地解释了半天才发现自己的疏漏。
实际上，很多书上对单连通空间的基本群的描述是不严谨的。
例如，说球面上的闭曲线可以收缩为一个点。
我们知道，闭曲线无法收缩为点，而我当时最要命的是把这种直观上的收缩为一点和零伦混淆了，于是就以为球面上的闭曲线零伦，直接导致了我在解释
问题时的不断失误。
所以道法自然兄说“球面虽然单连通但是非零伦”，我却把他的话理解成“球面上闭曲线非零伦”（当然这是事实），于是就要说明球面上曲线零伦即可收缩为点（实际上是错误的）。
这反映出我过去学习的一个致命伤：不求甚解。
很多东西，我都是学到大概了解后，就直接往前，这样常常埋下重大隐患。
非常感谢道法自然兄给我上了一课。
现在回到基本群的讨论，由于拓扑空间与其形变收缩核有相同伦型，穿孔平面（平面挖去一个点，不失一般性，挖去原点）以圆周为形变收缩核，因此基本群与圆周一样为无限循环群Z，穿孔R^n（n大于等于3）为道路连通空间，且以S^（n-1）为形变收缩核（因此基本群平凡），因此为单连通空间。
两个拓扑空间的积的基本群等于原来个空间的基本群之积。
例如，圆柱面的基本群就是圆周的基本群Z与线段的基本群{0}的直积。
二维环面为圆周与圆周的直积，因此基本群为Z*Z。
一个空间如果挖掉两个点，那么绕这两个点的先后不同，就导致不同结果，于是这个空间的基本群就不是Abel群，这样的空间以“8”字空间为形变收缩核，所以也可以得出“8”字空间基本群为非Abel群。
双环面就是以“8”字空间为形变收缩核，因此其基本群为非Abel 群。
于是，射影平面，二维球面，环面与双环面不同胚。