一九九三年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共 18 个小题 ; 每小题 3 分，共 54 分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

把所选项前的字母填在题后括号内。

（1）若双曲线实半轴长为 2，焦距为 6，那么离心率是 （ C ）（A ）3（B ）6（C ）3（D ）2222（2）函数 y1 tg22x 的最小正周期是 （ B ）1 tg2 2x（A ）（B ）（C ）（D ） 242（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是 2 时，圆锥的轴截面顶角是（A ）450（B ）600（C ）900（D ）1200 （ C ）（4）当 z1 i 时， z 100z 501 的值等于（ D ）2（A ）1（B ）-1（C ）i（D ）-i（5）直线 bx+ay=ab(a<0,b<0) 的倾斜角是（ C ）（A ） arctg ( b )Baabba（C ） arctg ( )（ ）ab（6）在直角三角形中两锐角为 A 和 B ，则 sinAsinB （ B ）（A ）有最大值 1和最小值 0（B ）有最大值 1，但无最小值22（ C ）即无最大值也无最小值（D ）有最大值 1，但无最小值（ 7）在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 5 a 6 9，则log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a 10（ B ）（A）12 （B）10 （C）8 （D）2 log 3 5（8）F ( x) (1 2 ) f ( x)( x 0) 是偶函数，且f ( x)不恒等于零，则f ( x)2x 1（A）是奇函数（B）是偶函数( A ）（C）可能是奇函数也可能是偶函数（D）不是奇函数也不是偶函数（9）曲线的参数方程为x 3t 2 2,5) ，则曲线是（ A ）y t 2(0 t1.（A）线段（B）双曲线的一支（C）圆弧（D）射线（10）若a, b是任意实数，且a b ，则（ D ）（A）a 2 b 2 （） b 1 （C）（D） 1 a 1 b( ) ( )Ba lg( a b) 0 2 2 （11）已知集合E { | cos sin ,0 2 }, F { | tg sin } ，那么E F 为区间（ A ）（A）( , ) （B）( , 3) （C）( 3 ) （） ( 3 5 )2 4 4 2 D 4 4 （12）一动圆与两圆： x2+y2=1 和 x2 +y2-8x+12=0 都外切，则动圆圆心的轨迹为（ C ）（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆（13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．．（A）三棱锥（B）四棱锥（C）五棱锥（D）六棱锥（ D ）（14）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（ A ）（A）(l)3 （B）(l)3 （C）(l)3 （D）1(l)3 6 3 4 4 4（15）由( 3x32)100展开所得的 x 的多项式中，系数为有理数的共有（ B ）（A）50 项（B）17项（C）16项（D）15项（16）设 a, b, c 都是正数，且 3a 4b 6c ，那么（ B ）（A ）1 1 1 （ ）2 2 1（ ）12 2 （ ）21 2 c a bBCa bDa bc a b cc（17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ B ）（A ）6 种（B ）9 种 （C ）11 种（D ）23 种（18）已知异面直线 a 与 b 所成角为 500，P 为空间一定点，则过点 P且与 a, b 所成的角都是 300 的直线有且仅有（ B ）（A ）1 条（B ）2 条 （C ）3 条（D ）4 条二．填空题：本大题共 6 小题 ; 每小题 3 分，共 18 分。

把答案填在题中横线上。

（ 19）抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3 ，则焦点到 AB 的距离为 ________________. [ 答] ：2（ 20）在半径为 30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形， 且其轴截面顶角为 1200。

若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 ________m （精确到 0.1m ）.[ 答] ：17.3（21）在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任意抽出 5 件，至少有 3 件是次品的抽法共 _________种（用数字作答） . [ 答] ：41863（22）建造一个容积为 8m ，深为 2m 的长方体无盖水池。

如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低造价为_______元.[ 答] ：1760（23）设 f ( x) 4x 2 x 1 ，则 f 1 (0) =__________[ 答] ：1（24）已知等差数列 { a n } 的公差n1，首项 a 1 0, S n, 则d>0a i a i 1i 1lim S n____________n[ 答] ：1a 1d三．解答题：本大题共 5 小题 ; 共 48 分. 解答应写出文字说明、演算步骤。

（25）（本小题满分 8 分）解不等式 2 log 1 (5 x) log 2 1 0.2x解：原不等式等价于5 x 0,x 5,1x0,解得 x0,log12[ x(5 x)]0.x 1或 x4.4所以原不等式的解集为 { x | 0x 1} { x | 4 x 5}（26）（本小题满分 8 分）如图， A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱，过点 A 1、B 、C 1 的平面和平面 ABC的交线记作 L 。

（Ⅰ）判定直线 A 1 C 1 和 L 的位置关系，并加以证明 ;（Ⅱ）若 A 1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90，求顶点 A 1 到直线 L 的距离。

精品文档解：（Ⅰ） L∥A1C1证明如下：根据棱柱的定义知平面1 1 1和平面 ABC平行。

A BC由题设知直线 A1C1=平面 A1B1C1∩平面 A1BC1，直线 L=平面 A1B1C1∩平面 A1ABC， C1B 1根据两平面平行的性质定 A DE理L CB有 L∥A1C1（Ⅱ）过点 A1作 A1E⊥L 于 E，则 A1E 的长为点 A1到 L 的距离。

连接AE，由直棱柱的定义知A1A⊥平面 ABC∴直线 AE是直线 A1E 在平面 ABC上的射影。

又 L 在平面 ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L由棱柱的定义知A1 C1∥AC，又 L∥A1C1，∴ L∥AC作BD⊥AC于 D，则BD是 Rt△ABC斜边 AC上的高，且 BD=AE，AB BC12从而 AE BDAC 5在 Rt△A1AE中，∵ A1A=1，∠ A1AE=90，∴ A1 EAE 2 A1 A213.5故点 A1到直线 L 的距离为13.5（27）（本小题满分10 分）精品文档在面积为 1 的△ PMN 中，tgM1, tgN2 . 建立适当的坐标系， 求出以2M ，N 为焦点且过点 P 的椭圆方程。

解：建立直角坐标系如图： 以 MNY所在直线为 x 轴，线段 MN 的垂P直平分线为 y 轴α设所求的椭圆方程为x 2y 2MONX1a 2b 2分别记 M 、N 、P 点的坐标为（-c,0),(c,0)和(x 0,y 0)∵ t g α=tg( π- ∠N ）=2 ∴由题设知1x 0 5 cy 0 ( x 0 c) 解得3即 P( 5 c, 4c)y 02c)y 043 32(x 0c3在△ PMN 中， MN=2c MN 上的高为 4c3△PMN14 3 ,即 P(5 3 2 3 ) 26 332 | PM |(x 0 c) 2y 0 22 153 | PN |( x 0 c)2y 01523a1(| PM | | PN )15 从而 b 2 a 2 c 2322故所求椭圆方程为4x 2y 2 1153（ 28）（本小题满分 12 分）.设复数解：精品文档z cos i sin (0 ),1 (z) 4,已知 | |3, 求。

1 z4 , arg3 21 [cos( ) i sin( )] 4 1 cos( 4 ) i( 4 )1 [cos i sin ] 4 1 cos4 sin 42sin 2 2 2i sin 2 cos2(sin 42cos2 2 2i sin 2tg 2cos2| | | tg 2 |3, 故有03(1)当 tg 2 3时 ,得或7 , 3 12 12这时都有3i sin ), 得 arg (cos3 6 6( 2)当 tg 2 3时, 得 5 或 1 ,3 12 12i cos4 ),适合题意6 2这时都有3(cos11i sin11), 得 arg 11 ,不适合题意 ,舍去3 6 6 6 2综合 (1), (2)可知或7 .1212（29）（本小题满分 10 分）已知关于 x 的实系数二次方程x2 +ax+b=0有两个实数根α、β . 证明：（Ⅰ）如果 | α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;（Ⅱ）如果 2|a|<4+b 且|b|<4, 那么 | α|<2,|β|<2.证法一：依题意，设二次方程有两个实根,，所以判别式a 2 4b 0. 不妨取1( a )1( a) 2 2（Ⅰ） | | 2, | | 2, | b | | | 4精品文档且 2 1( a ),1( a ) 2.2 20 4 a, 0 4 a, 平方得 a2 4b 16 8a a2 ,a 2 4b 16 8a a2 ,由此得4( 4 b) 8a 4(4 b), 2 | a | 4 b（Ⅱ） 2 | a | 4 b,| b | 4, | a | 1(4 | b |) 4, 24 a 0;且 a 2 4b a2 4( 2 | a | 4) a 2 8a 16 (4 a)2 ,又0, 4 a.得 4 a a 4,2 2, 得 | | 2,| | 2.证法二：（Ⅰ）根据韦达定理 | b | | | 4因为二次函数 f (x) x2 ax b 开口向上， | | 2,| | 2.故必有 f ( 2) 0,4 2a b 0, 2a (4 b);4 2a b 0, 2a 4 b.2 | a | 4 b.（Ⅱ）由 2 | a | 4 b得 4 2a b 0即 22 2a b 0, f (2) 0, (1)及4 2a b 0即( 2) 2( 2)a b 0, f ( 2) 0( 2)由此可知 f(x)=0的每个实根或者在区间（-2，2）之内或者在区间（-2，2）之外若两根α，β均落在（ -2 ，2）之外则与| b | || 4 矛盾若α（或β）落在（ -2 ，2）外，则由于| b | || 4 ，另一根β（或α）.必须落在（ -2 ，2）内，则与（ 1），（2）式矛盾综上所述α，β均落在（-2 ，2）内| | 2,| | 2.文科试题一．选择题：本题共 18 个小题 ; 每小题 3 分，共 54 分。