0 （ n 2 ） 180 一个内角的度数是 n
正多边形的 中心角与外角 度数相等
2.正n边形的一个中心角是
360 0 n
0
3.正n边形的一个外角是
360 n
0 ( n 2 ) 180 或1800 n
1.求出半径为４的圆内接正三角形的边长，边心距 和面积.
边长４ 3
边心距２
面积12 3
正方形是正多边形．因为四条边都相等， 四个角都相等.
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都 相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如 A６ 果不是,举出反例.
各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形, 且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等
360 于 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长 6
等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). BC 4 2， 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2 利用勾股定理,可得边心距
F O r B P R
E
r 4 2 2 3.
2 2
A
D
亭子地基的面积
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
C
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ∵BCE=CDA=3AB ∴∠A=∠B
B
E
同理∠B=∠C=∠D=∠E
C
D
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上 ∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
自学释疑：
自学第104页-------第105页。
问题1：会证明圆内接正五边形 问题２：能准确说出正多边形的中心，半 径，中心角，边心距。 问题３：会计算正多边形的中心角，半 径，周长，边心距，面积。（重点）
A A
M
A O
N
F O E A M B O
NC
D B C
M
O
N
M
B
C
B
C
N D
《名师》第75页第15题
1.下面说法中正确的有（ ） D 3600 （n 2).1800 (1)正n边形的中心角为 ; (2)正n边形的各内角为 ; n n 3600 (3)正n边形的各外角为 ； n 1 2 2 2 （4）正n边形的半径R，边心距r , 和边长an满足关系式R r an ; 4
∠BAD=30°,
B
O · D C
1 3 AD OA OD R R R， 2 2
3 1 1 3 3 3 2 R S BC AD 3 R R R. AD AB 2 3R. ABC 2 2 2 4 cos BAD cos 30
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方 形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
A
1 边心距＝OD= R. 2
在Rt△ABD中
cos BAD AD ， AB

2R

2
2R2
课堂小结
1. 圆的内切与外接正多边形 2. 正多边形的内切圆与外接圆 3. 正多边形的中心、半径、中心角、边心距 4. 利用正多形与圆的关系进行解题
问题1： 如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依 次连接各分点得到正五边形ABCDE.为什么?
A B O E
·
D
C
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距. 说出图中正多边形的中心，半径， C B 中心角，边心距， 思考：正多边形的半径是外接圆半 径。那么，正多边形的内切圆半径 A 是 （用图中线段表示） OG 正多边形的边心距就是内切圆半径。
F
·
G
O
D
E
中心０既是外接圆的圆心也是内切圆的圆心。
回答：
0 ( n 2 ) 180 1.正n边形的内角和是
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
BE 2 OE 2 OB 2
A
O ·
D
2OE 2 OB 2
OB OE 2 2 2 边心距OE OB R 2 2 2 边长BC 2BE 2 R 2R 2
2 2
B
E
C
S正方形ABCD ABBC
A.1个
B.2个
C.3个
D4个
1.填表：
正多边形 中心 半 内角 边数 角 径 边 长
2 3
边心 周 距 长 1 1
6 3
面积
3 3
3
4 6
60
0
1200
2
2
900
120
0
900
600
2 2
8 12
4
6 3
2
3
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
问题1： 如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分 点得到正五边形ABCDE.为什么? A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
24.3 正多边形和圆（一）
复习回顾：
问题1：n边形的内角和是 问题2：n边形的外角和是
(n 2) 1800
360
０
问题3:什么样的图形是正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
1.如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点P，求∠APB的度数。 E
A P B C
D
2:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且 BM=CN. (1)求图①中∠MON的度数; (2)图②中∠MON= ; 图③中∠MON= ; (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A７ · O A1
A５ A４ A３
An
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1. A2 A3 An A3 A4 A1 A4 A5 A2 A1 A2 An1.
A２
A1 A2 A3 An .
1.如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数
是
30
0
E
D O O
F
C
B
△ABO是正三角形
A
圆内接正六边形的边长与半径 相等 。
2.如果一个正多边形的每个外角都等于360，则这个 正多边形的中心角等于 360 。
正多边形的中心角与外角度数相等
３.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比1:2 ４.已知正方形的内切圆半径r＝1，则这个正方形 的外接圆面积S= 2 . ５.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为1200， 其内切圆半径为 2 3 .
４
A
1 正多边形的面积 S lr 2
O · D C
思考：
B
正多边形的面积是240cm 2 , 周长为60cm, 则边心距为
8cm
2.求半径为2的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边 长的比 3：2： 。 1 那么半径为n呢？
2
2
2
思考：同一圆的内接正三角形，正方形， 正六边形中，周长最大的是 正六边形