《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

解：由牛顿摩擦定律，平板所受的剪切应力du U dy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。

根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。

求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

解：由牛顿摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝ 粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ==2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232d d d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。

水解：根据等压面的性质，采用相对压强可得：()()()123243g g g h h h h h h ρρρ---=-水水123432h h h h h h ρρ-+-=-水例题5：如图所示，U 型管中水银面的高差h ＝0.32 m ，其他流体为水。

容器A 和容器B 中心的位置高差z ＝1 m 。

求A 、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度γ水＝9810 N/m 3，水银的重度γ水银＝133416 N/m 3）。

解：根据等压面的性质可得：A 11p p h γ=+水，12p p h γ=+水银，B 22p p h γ=+水()()()()A B 211334160.3298100.32129743.92Pa p p h h h h h z γγγγ-=--=-+=⨯-⨯+=水银水水银水例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H ＝1.2m ，长L ＝3m ，静止时盛水深度h =0.9m 。

现水箱以20.98m a =的加速度沿水平方向做直线运动。

若取水的密度31000kg m ρ=，水箱中自由水面的压强0p ＝98000Pa 。

试求： （1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。

（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度max a 。

解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致。

则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为0X a,Y ,Z g =-==-代入非惯性坐标系中的压力全微分公式()d d d d d p X x Y y Z z W ρρ=++=，得()d d d p a x g z ρ=-+ ①积分得 ()1p ax gz c ρ=-++利用边界条件确定积分常数1c ：在坐标原点O （0x z ==）处，0p p =，得10c p =由式①可得水箱的压强分布()()098000100009898980009809800p p ax gz .x .z x z ρ=-+=-+=-- 对于水箱中的等压面，有d 0p =，所以由式①可得等压面的微分方程d d a x g z =-积分得 2az x c g=-+上式给出了一簇斜率为a g -的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数20c =。

因此自由水面方程为0980198a .z x x .x g .=-=-=- （2）假设水箱以加速度max a 运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h '，则根据加速前后水的体积不变的性质可得()2h H LL h '+⋅⋅=②又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系max g a H h L'-= ③②和③式联立求解，得：()()()2max22 1.20.9g 9.8 1.96m s 3H h a L -⨯-==⨯=例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D ＝1 m ，高H ＝2 m ，静止时水深为h ＝1.5 m 。

求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度ω应控制在多大？（2）当ω＝6 rad/s 时，筒底G 、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？C解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,r z H ==，则由：()22,,d d d d X x Y y Z gp X x Y y Z z ωωρ⎧===-⎪⎨=++⎪⎩，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202g r z H ω=+ 根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：2222002d 2g 4D r D r H r h ωππ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭⎰由此可求得：22016gD H h ω=-，带入自由表面方程得：2222g 8D z h r ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若使ω达到某一最大值而水不溢出，则有2r D =时，z H =，带入上式，得()8.854rad s ω===（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为2222220g g 2g 2g 16g r r D p H z h z ωωωρρ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将G 点条件：0,0r z ==带入得：2222G 61g 10009.8 1.512450Pa 16g 169.8D p h ωρ⎛⎫⎛⎫⨯=-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭同理，将C 点条件：2,0r D z ==带入得：222222C 61g10009.8 1.516950Pa 8g 16g 169.8D D p h ωωρ⎛⎫⎛⎫⨯=+-=⨯⨯+= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为300mm d =，高500mm H =，容器装水，水深为1300mm h =，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速1n 。

解：以自由液面的最低处为坐标原点，自由液面方程为H gd gr z ===822222ωω旋转后无水的体积为：()2224222102d 2d 2644dd r d V z r r r r d H h ggωωππππ=⨯=⨯==-⎰⎰14187g(H h ).d ω⇒=-= ()rad s 1301783n .ωπ⇒== ()r min例9 已知平面直角坐标系中的二维速度场()()x t y t =+++u i j 。

试求： （1）迹线方程；d d d d x y z x y z t u u u === （2）流线方程；d d d x y zx y z u u u == （3）0t =时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度； （4）涡量，并判断流动是否有旋。

解：（1）将,x y u x t u y t =+=+代入迹线方程d d d d x y x yu ,u t t==得： d d d d x y x t,y t t t=+=+ 解这个微分方程得迹线的参数方程：1,1t t x ae t y be t =--=--其中，,a b 是积分常数（拉格朗日变数）。

消掉时间t ，并给定,a b 即可得到以,x y 表示的流体质点(),a b 的迹线方程。

例如：已知欧拉法表示的速度场22x y =-u i j ，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。

将2,2x y u x u y ==代入迹线微分方程：d d d d x y x y u ,u t t ==，得： d d 22d d x y x,y t t == 分离变量并积分，得： 12ln 2ln 2x t c y t c =+⎧⎨=-+⎩从上两式中消去时间t 得迹线方程： 12xy c c =+ 即： xy c = 可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。

（2）将,x y u x t u y t =+=+代入流线微分方程d d x y x y u u =得：d d x y x t y t=++ 将t 看成常数，积分上式得流线方程：()()ln ln ln x t y t c +=++ 或 ()()x t c y t +=+（3）由质点导数的定义可得流动在x 和y 方向的加速度分量分别为：D D x x x x x x y u u u ua u u t t x y∂∂∂==++∂∂∂()()110x t y t =++⨯++⨯1x t =++ D D y y y y y xyu u u u a u u ttxy∂∂∂==++∂∂∂()()101x t y t =++⨯++⨯1y t =++所以，0t =时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：()()D 1122D x x a a x t y t t==+=+++++=+ua i j i j i j （4）由涡量的定义，对于题中所给的平面流动有：0y x z u u x y Ω∂∂=∇⨯==-=∂∂⎛⎫⎪⎝⎭Ωu k k所以流动无旋。

例10 已知二维速度场为4x u x y =-，4y u y x =--。

（教材P68） （1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动； （2）求该二维流场的流函数； （3）证明该流动为势流； （4）求速度势函数。

解：（1）平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为0yx u u x y∂∂+=∂∂ 由已知条件可求()41x u x y x x∂∂=-=∂∂，()41y u y x y y ∂∂=--=-∂∂，可见速度分布满足连续方程。

故可以表示不可压缩流体的平面运动。

（2）流函数(,)x y ψ的确定 按流函数定义和已知条件有4x u x y yψ∂==-∂ (1) ()4y u y x xψ∂=-=-+∂ (2) 积分式(1)得 2d ()2()y f x xy y f x yψψ∂=+=-+∂⎰(3) 为确定函数)(x f ，将式(3)对x 求偏导，并按流函数定义令其等于y u -，即()4y y f x u y x xψ∂'=+=-=+∂ (4) 由式(4)可以判定x x f 4)(='，积分求)(x f 得c x x x x x f x f +=='=⎰⎰22d 4d )()( (5)其中c 为积分常数。