2019年复旦大学自主招生考试
数学试题
一、填空题（每题5分，共50分）
1．已知集合A =22{|log (1)0,}x x x x R -->∈，B=1{|221,}x x x x R -->∈，则
A R U ðB= ．
2．设数x 满足x ＋1x =−1，则3003001x x
+= ． 3．圆ρ＝3θ−5cos θ的圆心的极坐标为 ，其中[0,2)θπ∈．
4．设抛物线y =2x 2+2ax +a 2
与直线y =x +1交于A ，B 两点， 当|A B|最大时，a ＝ ．
5．计算：22lim(11)n n n n n →∞++--= ． 6．化简：l+3+6＋…＋(1)2
n n += ． 7．一个班有20个学生，其中有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到l 个女生的概率为 ．
8．写出31000在十进制中的最后4位 ．
9．设定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+220021x f x +⎛⎫
⎪-⎝⎭=4015−x （x ≠1）， 则f （2004）= ．
10．函数y ＝1sin 2cos x x
++的最大值是 ． 二、解答（本大题共70分）
1．在四分之一个椭圆22
221(0,0,,0)x y x y a b a b
+=>>>上取一点P ，使过点P 椭圆的切线与坐标轴所成的三角形的面积最小．
2．在ABC ∆中，已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =，求
AC AB
．
3．在单位正方体A BCD −1111A B C D 中， E 、F 、G 分别是A D 、A 1A 、1A 1B 的中点，求： （l ）点B 到面EFG 的距离；
（2）二而角G −EF −1D 的平面角θ．
4的实数根．
5
．已知sin cos (0a a αα+=≤≤
，求sin cos n n αα+关于a 的表达式．
6．设直线l 与双曲线xy =l 交于P 、Q 两点，直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，求证：|A P|=|BQ|．
7．已知定义在R 上的函数f （x ）=442x x +，121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭L ，n=1，2，3⋯，
（1）求S n ；
（2）是否存在常数M>0对，对任意2n ≥，有
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111n M S S S ++++≤L ?。