数学在决策中的应用———层次分析法学习应用数学后，我结合海运学院的相关专业，寻找数学应用的相关领域时，被利用数学进行决策的层次分析法吸引住了，现在将所学习到的和所想到的做了总结，并将我学习层次分析法的心得分享一下。
首先简单的介绍一下层次分析法，层次分析法(Analytic Hierarchy Process ，简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法[1]。
层次分析法是一种定性与定量相结合、系统化的决策方法。
它将决策者的主观判断与实践经验导入模型，并进行量化处理，体现了决策中分析、判断、综合的基本特征。
该方法首先将复杂问题按支配关系分层，然后两两比较每层各因素的相对重要性，最后确定各个因素相对重要性的顺序，按顺序做出决策。
层次分析法的具体方法和步骤如下。
[2]1． 建立层次结构模型通过深入分析实际问题，将问题分解成三个层级，即目标层、准则层(要素层)和方案层 ，同一层次的因素对上层因素有影响，同时又支配下层因素。
目标层是最高层，通常只有 1 个因素，最下层通常为方案措施，要素层可以不止一层，当要素过多时( 譬如多于 9 个) ，可以进一步分解出子要素层，并建立关联，见图1。
2. 构造判断(成对比较)矩阵从第二层开始，把同一层级的因素用成对比较法和一定比较尺度构造判断矩阵 A ，直到最后一层。
ji j i ij n n ij a a a a A 1,0,)(=>=⨯，其中i ，j=（1,2,3，……，n ）矩阵 A 中，aij 表示因素 i 与因素 j 对上一层因素的重要性之比，aij 表示因素j与因素i 的重要性之比，且aij= 1 / aji 。
对于aij 的值，Saaty 等建议引用数字 1 至 9 及其倒数作为标度，见表1。
如果按照图1所示因素构造一个判断矩阵B ，即用B1,B2,B3表示A 的判断矩阵，如图2：图1 层次结构模型 图2 A 的判断矩阵B表1 各标度数值含义用个简单的例子来说，如果A 代表我们要买一台船用发电机，B1代表功能强；B2代表价格低；B3代表维修容易。
如果其中我们认为价格低B2比功能强B1重要，维修容易B3比功能强B2明显重要则我们得到的B 为：查得其实理想构造矩阵就是典型的正互反矩阵。
而且应该满足： 各标度数值含义 aij 的值 含义1 因素i 与因素j 一样重要 3 因素i 比因素j 略重要 5 因素i 比因素j 明显重要 7 因素i 比因素j 强烈重要 9 因素i 比因素j 极端重要2,4,6,8 表示上述相邻判断的中间值 151213513223111321B B B B B B A B),,1(,.n k j i a a a ik jk ij <≤=但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。
因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
有一种说法：对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。
对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求矩阵的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大[3]。
另外一种是由定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n ；定理：n 阶正互反矩阵A 的最大特征根n ≥λ，当且仅当n =λ时，A 为一致阵[4]。
所以有了一个一致性检验指标CI ： 1)(max --=n nA CI λ其中λmax 为矩阵A 的最大特征值，一致阵中λmax=n 。
也就是说，这个层次分析法实则是将构造矩阵与一致阵进行比较，比较两者的相似程度。
当λmax 越接近n ，CI 越小，则一致性越好。
判断矩阵的维数 n 越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵的一致性要求，引入特征值RI ，查找相应的平均随机一致性指标RI ，对应n = 1，…，9，Saaty 给出了RI 的值，如表2所示：机一致性指标 RI 的取值RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵:随机地从1至9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ'max ，并定义：1max '--=n nRI λ使用更为合理的 CR 作为衡量判断矩阵的一致性指标，并计算一致性比值CR ：RI CICR =通常认为，当 CR ＜0.1时比较矩阵 A 具有一致性，或者说其不一致程度是可以接受的; 否则就需要调整矩阵 A ，直到达到满意的一致性为止，然后把最大特征值对应的特征向j j ij k b CC ∑==31量标准化，使各分量都大于 0 且和等于 1，这个标准化后的向量就是权向量，代表每一要素对上层指标影响的程度大小。
在一致性计算中我们从公式里看出，需要求得构造矩阵A 的最大特征值，Saaty 教授建议运用最大特征值λmax 所对应的归一化的特征向量作为矩阵A 的权向量。
计算权向量有特征向量法和算数平均法，还有几何平均法和最小二乘法等。
这里通过特征向量法来说明，依然求B 矩阵的特征值与特征向量，得到最大的特征值λ=3.0037，其对应的特征向量w=（0.3288，0.9281，0.1747）归一化后的权向量：W=（0.2297，0.6483，0.1220）此时可以计算CI=（3.0037-3）/(3-1)=0.0019; CR=0.0019/0.58=0.0032，均符合条件，意味着不用对构造矩阵进行修改。
层次分析法权重的计算和判定当我们需要做某些决定时，需要计算每个方案的权值，继续用上面的例子来说明：A 代表我们要买一台船用发电机，B1代表功能强；B2代表价格低；B3代表维修容易。
C1代表沃尔沃；C2代表奔驰；C3代表三菱；C4代表潍柴；一般来说我们都需要通过计算方案层的权重，进行决策。
层次B 包括B1，B2，B3三个因素，假设它们相对于总层次A 的排序权重值分别为b1，b2，b3;层次C 包括C1，C2，C3，C4四个因素，假设这四个因素相对于Bj 的排序权重值分别为C1j ，C2j ，C3j ，C4j(j=1，2，3)，那么C 层各因素的总排序权重值(k=1，2，3，4)。
对于总层次排序也需要进行一致性检验，一致性指标CI 和RI 分别为()3kW j j j j j j b RI RI b CICI ∑∑====3131,，其中CIj 是C 层元素对应于bj 的单排序一致性检验指标，RIj 是相应的平均随机一致性指标，则层次总排序随机一致性比值∑∑===3131jj j j jj b RI b CI CR ，当CR ≤0.1 时，我们可以认为层次排序结果基本符合一致性条件，否则必须对判断矩阵加以调整，直到一致性检验合格为止[5]。
获得同一层次各要素权重后，就可以计算各级要素对总体的综合权重。
决策问题处理过程中,若果第1层因素为1个,第2, 3层依次是n, m,那么第2,3层对第1,2层对应得到的权向量依次是列向量得到的矩阵：那么第三层对应于第一层得到的组合权向量[6]:在来创建方案层对每个Bj 的构造矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1213131421212133211232111432111C C C C C C C C B C ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12141314213121343122322111432122C C C C C C C C B C⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1233421122331211123121111432133C C C C C C C C B C其中Cj （j=1,2,3,）表示方案层对Bj （j=1,2,3,）的构造矩阵。
现在计算各方案的权向量与特征值：C 层对B1的权向量Wc1=（0.3509,0.3509,0.1890,0.1091） λ1=4.0104 CI1=0.0035 C 层对B2的权向量Wc2=（0.2772,0.4673,0.1601 ,0.0954） λ2=4.0310 CI2=0.0103 C 层对B3的权向量Wc3=（0.1409,0.1409,0.2628 ,0.4554） λ3=4.0140 CI3=0.0047 其中CIj （j=1,2,3）表示每个矩阵Cj 的一致性检验指标。
B 层对A 的构造矩阵的权向量W=（0.2297,0.6483,0.1220）λ=3.0037则方案层中每个方案的综合权值Ccj （j=1,2,3,4）为：Cc1=0.3509*0.2297+0.2772*0.6483+0.1409*0.1220=0.2775Cc2=0.3509*0.2297+0.4673*0.6483+0.1409*0.1220=0.4007Cc3=0.1890*0.2297+0.1601*0.6483+0.2628*0.1220=0.1793Cc4=0.1091*0.2297+0.0954*0.6483+0.4554*0.1220=0.1425层次总排序随机一致性比值：CR=(0.0035*0.2297+0.0103*0.6483+0.0047*0.1220)/（0.90*0.2297+0.9*0.6483+0.9*0.1220）=0.0089由计算结果可以看出权重向量WC=（0.2775,0.4007,0.1793,0.1425），其中C2得分最高，推荐购买奔驰，C4得分最低，不推荐购买潍柴。
这样就把一个选择决策通过量化计算得到一个结果。
但是在计算过程中我觉得每个方案最后的权值完全取决于构造矩阵中每个元素的值，这就对建立构造矩阵的过程和方法提出了很高的要求，这样就需要我们在做决策之前建立一个庞大的数据系统去确定各个元素之间的关系，用来制定ij a 的值，不然建立的构造矩阵是没有说服力的。
我认为层次分析法的发展方向就是如何建立合理可靠的构造矩阵。
但是一旦建立了相对准确的构造矩阵，用层次分析法能够简单的算出各个元素的权值，方便我们做出决策，也能更容易得看出各个元素之间的关系。
在这里仅将最近对层次分析法的认识和对该方法学习的一些心得做了简单叙述并结合自己的专业虚构了一个购买发电机的案例，加深了对该方法的认识和学习。
望今后能再接再厉，取得一定的突破。
参考文献：[1] 百度百科[2] 赵宝卿,李娜.基于层次分析法的内部审计外包内容决策研究.《审计与经济研究》,2013年第一期.[3] 刘成明.面向复杂系统决策的层次分析权重处理方法及其应用研究.吉林大学硕士学位论文.2006年5月.[4] 高继文.基于AHP的家庭购车方案评价.中国科技大学硕士学位论文.2014年5月[5] 网上资料.无出处[6] 邓雪,李佳铭.层次分析法权重计算方法分析及其应用研究.《数学的实践与认识》.2012年4月.Vol.42,No.7欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。