驻波在乐器中的应用研究摘要：本文先从声学的基本理论研究开始，以弦振动为主体对驻波的产生、传播及引起的声学规律进行研究，再把这些原理应用到弦乐器中进行分析，从物理学的角度以吉他为例讨论了驻波在弦乐器中的应用。

关键字：声学；驻波；弦乐器；音乐1.引言声学是近代科学中发展最早、内容最丰富的学科之一，它是物理学的一个分支，是一门既古老又迅速发展着的学科。

在19世纪末已发展成熟，对声学的研究达到高潮，其应用渗透到几乎所有重要的自然科学，与各门学科相互交叉，从而具有边缘学科的特点[1]。

从历史上讲，声学的发展离不开音乐，我国如此在国外也是如此。

我国古代曾侯乙编钟就是一组杰出的声学仪器，外国的亥姆霍兹发展声学也是与乐器联系在一起的。

物理学的发展，在理论上、方法上或技术上都会用到音乐上，比如非线性理论、瞬态分析等。

乐器是什么？从物理的角度来看，它就是一种仪器，一种人造的为人们所用产生音乐声的仪器[2]。

那么对于音乐从物理的角度来看，它的实质就是一种声波，要产生声波还得有相应的振动[3]。

比如乐器吉他、二胡的弦振动都是利用了驻波的传播而发声，然而声学在物理学中“外在性”最强，所以具体事物要具体分析。

从古至今踊跃出许多的音乐家、乐器演奏家，现时的音乐已经深入到我们生活的许多方面，琴声、歌唱声、说话声，电话、电铃的响声……其中，音乐声占了很大的比重。

由此可见，音乐是每个人、每个家庭生活不可缺少的一部分。

可以想象，如果生活中没有了音乐，世界将会变成怎样！然而不是任何一种声音都可以叫做音乐，必须是一定音调的声音才可以算得上是音乐。

那影响音调的因素又有哪些，它们又有什么样的规律？那么本文将以吉他来研究，从根本上说明其发声的物理本质。

2.弦乐器的发声在声学中我们知道，声音是一种波，是由物体的振动产生的，声波使它附近的空气在声波中前后移动，使空气振动，如果空气的振动到达人的耳朵，就会使耳内的耳膜振动，让声波传递给听觉神经，大脑的听觉神经形成听觉从而可以听到声音。

我们把振动产生声音的物体叫做声源，对于各种不同的声源发出的声音我们听起来会有所不同，有高有低，有大有小，这是因为声源振动的频率和振幅不同。

频率是指物体在一秒内振动的次数，振动的频率越高，产生的音调就越越高；而声音的大小取决于振动的幅度，即振幅越大，声音就越大[4]。

当然声音的大小，还取决于离声源的距离，这个我们在生活中可以感受到，离声源越近，听到的声音越大，相反越小。

对于弦乐器，如：吉他、二胡、雷琴等都是靠琴弦的振动而发声的，当拨动琴弦时会产生振动，从而使它附近的空气振动，运动到人耳，我们就可以听见弦乐器的发声。

当然乐器仅靠弦的振动发出的声音是很小的，就像电吉他，没有插上电源，发出的声音是非常的小，所以我们可以看见，它们都带有一个琴箱，如原声吉他，它通过琴身承受琴弦的振动，并转化为面板的振动，面板随琴弦一起振动，会引起吉他内部的空气柱运动，形成声波，并达到放大的效果，从而让我们可以听见乐器美妙的声音[5],[6]。

3.驻波波动的研究在物理学的许多领域中都有涉及到，在空间某处发生扰动，以一定的速度由近及远向四处传播，把这种传播着的扰动称为波。

振动和波动是物体运动的两种形式，可以这样说振动是波动的根源，波动是振动的传播形式。

对于弦线上产生的机械波，生活中的许多地方都可以遇见，如各种乐器：弦乐器、管乐器、和打击乐器等，都是由于产生驻波而发声的，正是驻波这种特殊的波对应的特殊的振动才使乐器可以发出优美动听的声音[7]。

那么产生的驻波有怎样一个规律呢？频率和振幅均相同、振动方向一致，传播方向相反的两列波叠加后形成的波，它不向前推进，故叫做驻波。

驻波的平均能流密度等于零，能量只能在波节与波腹间来回运行。

几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好像没有遇到过其他波一样[11],[15]。

在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和[8]。

4.驻波与乐器4.1.弦线的振动现在我们来看看简单的单振子模式[9]，如图1有一根拉紧的弦线，面积和密度都为均匀，其中张力用T 表示，线密度为u 。

若横波在弦上的沿x 方向传播，取 =ds AB 的微元段进行讨论，如图1-2所示在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为 1T 、2T ,方向分别为弦线的切线方向与x 轴所交的1θ、2θ。

图1A BTθB 2T y在y 轴方向根据牛顿第二定律，有运动方程222112sin sin d s d y T T u dtθθ-=根据参考文献[10]可以得到：v = （1-1） 若波源的振动频率为f ，横波波长为λ，由公式v f λ=代入1-1式有λf （1-2） 4.2.弦线上的驻波前面我们介绍了受迫的弦线振动的有关规律，那么对于两端固定的弦，在初始时刻对弦某位置施加一扰动，则这扰动就会向两个相反方向传播。

前面说了是两端固定的，因而在端点处，这种扰动的传播会被发射回来[7]。

那么：由驻波的原理可以得到——弦线的振动将会形成驻波。

当振动稳定后形成驻波：入射波可表示为 ： 1=cos 2-xy A ft πλ（） 反射波可表示为 ： 2=cos 2+x y A ft πλ（） 合成后为： 122=+=cos cos xy y y ft ππλ（2A ）2 （1-3）1-3式中的2cos x πλ｜2A ｜为驻波的振幅，是x 的函数，那么： 当 2cos =x πλ｜｜1 ，即 =4x k λ±2 ，k =0,1,2…，振幅最大为波幅； 当 2cos=0x πλ｜｜ ，即 =+14x k λ±（2） ，k =0,1,2…，振幅为零，为波节。

从上面的两式可以看出相邻两波幅或相邻波节的距离都是半波2λ[11],[12]。

那么可以得到两端固定的弦线形成驻波时，波长λ与弦线l 满足：=2kl k λ 或2k l kλ= （1-4）将1-4式带入 1-2中有： k =f （1-5） 上式中：k f 代表弦的振动频率，振动频率具有一系列特定的数值，即k f =123, ,,f f f …，并且仅与弦本身的固有力学参量有关，因而把称它为弦的固有频率，但与单振子系统有明显的区别，单振子系统只有一个固有频率，但是弦的固有频率不止一个，并且固有频率的数值不是任意的，其变化也不是连续的，而是等次序离散变化的。

当k=1时，是最低的一个固有频率，叫做弦的基频;当k 〉1的各次频率称为泛频。

由于弦振动的各次泛频都是基频的整数倍，因而它们也可以叫做谐频，即把基频叫做第一谐频，第一泛频叫做第二谐频，依次类推。

正是因为弦振动时激发的固有频率都是谐频，所以弦乐器一般听起来的音色是和谐的[7]。

4.3.吉他与驻波4.3.1.吉他的结构吉他是一种以弦振动而发声的乐器，常分为古典吉他、民谣吉他、夏威夷吉他、及电吉他等[13]。

基本构造由琴头、琴颈、琴弦和琴箱四部分组成，在这里我们着重介绍一下原声吉他，如图3：琴头调弦轴琴颈4.3.2.吉他发声与驻波在实际生活中我们可以看到很多吉他手，在演奏一首曲子之前都会调试一下他们的吉他的声音，而且弹奏的时候会不停地变换着他们的左手在指板上的位置，从音乐学的上来看这叫做指法的变换，改变了弹奏的和弦。

再来仔细的观察吉他的结构图可以看出（1）吉他的六根弦的粗细不同；（2）品位间的距离不等，从上到下越来越密；（3）长度l 是一定的，都是从琴枕到琴桥。

由于长度一定，所以可以把吉他看作是两端固定的弦振动。

根据弦的粗细不同，从细到粗分别命名为一、二、三、四、五、六弦，对应的张力为123456T T T T T T 、、、、、，线密度分别为123456u u u u u u 、、、、、。

首先以一弦为对象进行分析，线密度为1u ，张力为1T 。

当把弦按在一品上时会发出“fa ”音，依次往高品位上移动会发出不同的声音，越往高品位发出的声音音调越高[13]。

前面我们提到吉他手弹奏一首曲子的时候需要改变很多个和弦，可以看出这个过程其实改变的是琴弦的长度l 。

根据式子: k f ，只需考虑当k=1时，产生的频率是弦的基频，即：1f，从此式中可以看出吉他手弹奏一首曲子的时候改变了很多的和弦，其实根本上是通过弦长l的改变来改变了产生的驻波的频率，从而改变声音的音调，以至达到演奏的效果。

再来比较一下六根弦在同一品位上发出的声音，通过实验得到六根弦在一品上拨动的时候产生的声音都不同，一弦声音要清脆一些，音调要高些。

不难发现从1f上可以得到，由n T一定、l一定，从而u n越小1f越大，因此一弦的音调要高一些，六弦的音调要低一些。

从吉他的结构上可以看出品位线之间的距离不是等距的，从上到下越来越密。

对于一根弦来看，从上到下依次可以发出do、re、mi、fa、sol、la、si，每隔一个品位音调会往上升一个半音，因此在一定的位置上的发出的音是一定的，所以品位线在指板上的位置是一定的。

那么根据1-5式k=f可以看出设计一把优质的吉他就必须结合材料和结构来进行分析，使它满足相应的驻波条件。

前面说到，两端固定的弦给以一个扰动，最终会形成驻波，从而发出声音，但是对于音乐来讲我们要的不是会响，而是要会发出一定音调的声音，因此品位线的不等间距设计，是为了满足了1-5式中的l条件专业的吉他手在演奏之前往往都会调试一下吉他，看看音调准不准，那他们是根据什么来衡量音调的准确度呢，其实很简单，根据文献[13]可知：吉他的标准音是一弦的空弦与二弦五品的相同；二弦的空弦与三弦四品相同；三弦的空弦与四弦五品的相同；四弦的空弦与五弦五品的相同；五弦的空弦与六弦五品的相同。

即，固定一弦的空弦的松紧程度，然后根据一弦的空弦发出基频调试二弦，使二弦五品的音调与一弦空弦的音调一样，依次下去调试另外的几弦。

在这里说到使他们固定的品位上的音调一样，其实就是让他们振动产生的频率一样，即达到共振。

这就相当于几个相互关联的单振子模式，首先以一弦的空弦为一个振子，然后以二弦五品上产生的频率为驱动频率使一弦与之共振，同理调试其余几弦。

所以，调弦不一定必需专业的吉他手才可以调弦，一般的人不懂音调的高低，听不出来，但是可以通过观察相应两弦之间是否达到共振来调试的。

当然从1-5式中可以看出调弦其实是通过改变张力T的大小来改变其产生的振动频率是否满足相应音调的驻波条件。

如前所说，每次激发所激起的不只是基频，还会伴随着各种泛音的出现，不同的泛音由于它们的振动频率是不同的，所以其时间特性也就会不同[14]。

频率高的振动分量衰减快，低频的振动分量衰减则较慢，这样从根本上来看，虽然泛音产生的驻波的频率是谐频，让我们听起来是和谐的，但是由于泛音的时间特性差异，那将会影响吉他的音色。