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初中数学函数中的定点问题常考压轴题专题汇总练习(含解析)

初中数学函数中的定点问题常考压轴题专题汇总练习(含解析)
定点题型
定点问题,初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题,这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因,
先选择适当的参数,用参数表示出直线或抛物线方程,然后按参数整理,并令参数的系数为0得方程组,解方程方程组求出定点坐标.
解题思路:
这类问题通常有两种处理方法:①第一种方法:是从特殊入手,通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,再证明这个点(值)与变量无关;②第二种方法:是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变
量,从而得到定点(定值)。

具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简
消去变量即得定值。

一、直线过定点问题:
解法1:取特殊值法
给方程中的参数取定两个特殊值,这样就得到关于x,y的两个方程,从中解出x,y即为所求的定点,
然后再将此点代入原方程验证即可。

例1:求直线(m+1)x+(m-1)y-2=0所通过的定点P的坐标。

解:令m=-1,可得y=-1;令m=1,可得x=1。

将(1,-1)点代入原方程得:
(m+1)· 1+(m-1)(-1)-2=0 成立,所以该定点P为(1,-1)。

解法2:由“y-y0=k(x-x0)”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y0=k(x-x0)的形式,这样就证明了
它所表示的所有直线必过定点(x0,y0)。

例2:已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证不论k取任何实数值时,直线l必过定点,并求出这个定点的坐标。

证明:由已知直线l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,∴(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),不论k 取任何实数值时,直线l必过定点M(1,-1)。

解法3:方程思想
若方程的解有无穷多个,则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方
程,然后利用系数为零求得。

例3:若 2a-3b=1(a,b∈R),求证:直线 ax+by=5必过定点。

解:由已知得 ax+by=5(2a-3b),即 a(x-10)+b(y-15)=0 无论a,b为何值上式均成立,所以a,b 的系数同时为0,所以过定点(10,15)。

解法4:直线系观点
过定点的直线系A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线l1∶A1x+B1y+C1=0与l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线系,而这交点即为直线系所通过的定点。

例4:求证对任意的实数m,直线(m-1)x+2(m-1)y=m-5必过定点。

解:原式可整理为(x+2y-1)m-(x+y-5)=0
1.直线l:kx﹣y+2k+1=0必过定点 .。

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