一、解答题1．已知函数()()
()2
ln 10f x x a x a =+->.
（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：312
0e x e --<<.
2．设函数f (x )＝x 2
＋bx －1(b ∈R )．
(1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一零点；(2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围．3．已知函数()()2
10f x ax mx m a =++-≠.
（1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数；
（2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围；（3）已知12,x x R ∈R 且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()121
2f x f x f x ⎡⎤=+⎣
⎦在区间()12,x x 上有实数根.
4．已知函数()2
ln f x a x bx =-图象上一点()()
2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++.
(1)求,a b 的值;
(2)若方程()0f x m +=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中e 2.71828= 为自然对数的底).
5．已知函数()1x
f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数，a R
∈（I ）若a e =，函数()()2g x e x
=-①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间②若函数()()(),{
,f x x m F x g x x m
≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围
（II ）若存在实数[]
12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证：2
1e a e e
-≤≤-6．已知函数()1x
x
f x ax e =
-+.（1）当1a =时，求()y f x =在[]
1,1x ∈-上的值域；（2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.7．已知函数()1ln f x ax x
=-+（1）若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围；
（2）在（1）中，a 取最小值时，设函数()()()
()122g x x f x k x =--++.若函数()g x 在区间182⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上恰有
两个零点，求实数k 的取值范围；
（3）证明不等式：()221
2ln 234n n n n
-+⨯⨯⨯⨯> （*n N ∈且2n ≥）.
8．已知函数()()ln 1ax
f x e x =+，其中a R ∈.
（1）设()()ax
F x e
f x -='，讨论()F x 的单调性；
（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围.9．设函数()ln f x x =，()b
g x ax c x
=+
-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；
（2）当3b a =-时，若对任意()01,x ∈+∞和任意()0,3a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得
()()()120g x g x f x ==，求c 的最小值；
（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于()11,,A x y ()2212,()B x y x x <两点．求证：
122121x x x b x x x -<<-.
10．已知函数()f x lnx ax =-.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）当函数()f x 有两个不相等的零点12,x x 时,证明:212x x e ⋅>.
11．已知()()()3
2
31ln ,2
x
f x x e e x
g x x x a =--=-+
+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．12．设函数()()2
ln 2f x x a x a x =---.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在1x 、2x 满足()()12f x f x =.求证：122'03x x f +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
（其中()'f x 为()f x 的导函数）13．已知函数()()2
2
ln R f x a x x ax a =-+∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.14．已知函数()()21x
f x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数.
（1）若函数()f x 在区间[]
0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；
（2）已知函数()()2
11x
g x e a x bx =----，且()10g =，若函数()g x 在区间[]
0,1上恰有3个零点，求实数
a 的取值范围．
15．已知函数()()ln 1ax
f x e x =+，其中a R ∈.
（1）设()()ax
F x e
f x -='，讨论()F x 的单调性；
（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围.16．已知函数()ln 3f x a x bx =--（R a ∈且0a ≠）（1）若a b =，求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点12,x x ，求证：12ln ln 2x x +>.17．设函数()()()2
2ln 11f x x x =---.
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若关于x 的方程()2
30f x x x a +--=在区间[]
24，
内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.。