1. 填空（本题共20分，共10空，每空2分）
1） 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5的棋盘上，要求每行每列只放 置
一个棋子，则共有1200种不同的摆放方法。

2
答案：5! C 5
1200
2） 在（5a 「2a 2+3a 3）6 的展开式中，a/?a 2?a 33 的系数是 -81000。

色 52 ( 2) 33
81000
答
2!1!3!
3）有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第
n 1
二组的最大数，共有
n 2 1
种方案。

4）六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特 定引
擎开始点火有
12种方案。

答
案：
C 3 c ； C 2
12
5） 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320 个。

6） 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。

现 要
编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目， 则共可以写出 604800种不同的节目单。

3
答案.6! C 7 4! 604800
2
7） 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有
2 （n!）
种排列方法；
2
若围成一圆桌坐下，又有
2 （n!） /（2n ）
种方法。

2n
8） n 个变量的布尔函数共有
n
个互不相同的。

9） 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体， 而且
要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为
P(n r 1,r)
/ 八(n r 1)! ~ / 、 …w P(n r 1,r)
n(n 1)(n 2)
答案：
2. (本题10分)
核反应堆中有a 和B 两种粒子，每秒钟内一个 a 粒子分裂成三个B 粒子，而 一个B 粒子分裂成一个a 粒子和两个B 粒子。

若在时刻t=0时，反应堆中只 有一个a 粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个 a 粒子？多少个B 粒子? 解：设t 秒钟的a 粒子数位a t ， B 粒子数为b t ,则
a t
b t i b 3a t 1 2b t 1 a 。

1,b o 0
a t
b t 1
b t 2b t 1 3b t
2()
b o 0,d 3
(*)式的特征方程为x 2 2x 3 0， 解得 r 1
1,r 2 3
，即 b
A 1 ( 1)f A 2 3
目为多少?
有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为
(a1 1)(a
2 °
②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。

n
Ry 2 P n'n ，能被(a 1 1)(a 2 1) (a n 1)个
代入初始值b 。

0,b >
3
，解得A 1
4,A2
(1)t
3 3'
a t
b t
1
3f 1
a
100
3
(399
4
1), b
100
3
/』00 4(3
1)
3.(本题共10分，共2小题, 每小题5分)
①设 n R a1P 2a2 P?
，R,巳,
P n 是互不相同的素数, 设求能除尽n 的正整数数
解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数
P 从0到a i ，即每个素数
(a n 1)个。

证明：根据题①中结论,
数整除，而
n 2 P 12a1P 22a2 P n 2an 能被 (2a 1 1)(2a 2 1)
个数整除, 2a i +1 为奇数 (0 i
1)
,所以乘积为奇数,证毕
4. (本题 10 分)
证明等式
222
2
nnn n 2n 012
nn
求(1+X 4+x 8)100中x 20项的系数。

证明：
(1 x)2n (1 x)n (1 x)n 2n 2n 2n 2n xx
0 1 2n 2
n n n n xx
0 1
n n n n n 0
n 1
n 1
比较n 次方系数即可证。

4
8 100
4
8
100
解：(1 x x )
1 (x x )
100
k 4 8 k 100 k
C 100
(x
x ) 1
k0
分析(x 4 x 8)k 的结构可知仅当k 3,4,5时有X 20项
k 3时, 系数 C 3
100
C 32, k 4时,
系数 C
100
C 43,
k 5时, 系数 C 1500 C 50,
三个系数相加即为所求
(2a n 1)
（本题10分）
6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带 顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？
解：P
D 6 1 1 4
4 1 4
1
6!
1! 2! 3! 4! 5! 6!
1
2
3
4
5
(720 C 6 5! C 6 4! C 6 3! C 6 2! C 6 1! 1) / 720
(720 6 120 15 24 20 6 15 2 6 1)/ 720 (720 720 360 120 30 6 1)/720 265/720 0.368
可以证明，当n 比较大时，
0.36788.
n! e
7.（本题10分）
求满足下列条件的整数解数目 x1+x2++x3+x4=20其中1強1屿，0強2筍,
4強3毛，2強4詬。

5. (本题10分)
求 1, 3, 5, 7, 9这五个数可以组成多少个不同的 n 位数，其中要求3和7 出现次数为偶数 解：Ge(x) (1
x
1! x x 3x
e e
e
(h
2
X
2! 2x
.2 3x e )e 2
3
x )(1 — 2! 2x
e 2
4
4
X
4!
)2
1 x 3x
(e 2e 4
5x
e )
r
x -(1 2 3 5') — 4 r o
r!
所以可以组成 2 3n 5n ）个不同的n 位数。

6.
解：设 y i X i 1, y 2 X 2,y 3 X 3 4山 2,
y y y 3 y 4 13, 0 y i 4,0 y 2
7,0 y 3
4,0 讨4 4,
13 4-i
16 16
若不附加有上届条件的 根据公式应为
560. 13
13
3
对于有上届的问题要作 变换 1 4 - y
1, 2 7 - y
2, 3 4- y 3, 4
4-y 4,
1
0,
2
0,
3
0,
4
于是问题转为
1
2
3
4
6 6 4-1
9 9 整数解数目为
84
6
6
3
8.(本题10分)
长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方 案？(刚体运动使之吻合算一种方案)
解：第一类置换： R (1)(2)(3)(4)(5), 第二类置换：P 绕00［翻转P 2
(15)( 24)( 3)，
置换格式：1个 15,1 个 11
22， I (25 23)/2 20.
试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？
解：若木棒不可动，则5个对象任取2个对象染蓝色，方案数 为10. 但木棒可翻转，使得12和45,13和53,14和52,23和 43为蓝色分别 为同一种方案，此时不同方案数为6.
O
O 1
9. (本题共 10分，共 2小题，每小题 5 分)
m m n n m
2n
的组合意义
n 0 n
解：右边：m 个球，从中取出n 个放入两个盒子，n 个球中每个球都有 两种方法，得到可能的 方案数。

左边：第i 项的意义是一个盒子中 放i 个，另一个盒子放n-i 个, 所有的方案数相加应该 等于右边。

②证明
n 22 n 32
12
证明：
n
n n
在二项式 (1 x)n
01 的两端对x 求导可得：
n(1 x)
n 1 n
2 n x 3
12
nn 令 x 1,即得式： 2 12 再给式子： n(1 x)n 1 n
1
两端同乘以X 后并求导得：
n 3
2
n n n
n(n 1)2n
2。

n
2 n 3
n
n
x
xx
x
2
3
n
n 2 n
n 1
x
nx
3
n
n
n n2
n 1
3
n 3
n
2 n n
2
n n1
x 3 x
2
n x
2 3
n
n(1 x)n 1 n(n 1)x(1 x)n 2 32 x 2
2 n n 1
nx
n
也令X 1,即得式： 1n
22
n
32
2
n n n
n(n 1)2n 2
①给出。