A
B
（1）等量关系就是函数关系
20 ①y= －10tanθ+10 cosθ π (0≤θ≤ ) 4
D P C
10－10tanθ
20 cosθ
θ A 10 P x
x2-20x+200
O B C
②y=x+2 x -20x+200
2
(0≤x≤10)
D
O B
A
（1）等量关系就是函数关系 20 ①y= －10tanθ+10 cosθ ②y=x+2 x2-20x+200 π (0≤θ≤ ) 4 (0≤x≤10)
高考数学应用题的解题策略
南京师大附中 吴兆甲
2012.04
高考数学应用题的解题策略
一、江苏高考数学应用题统计分析 二、数学应用题的解题策略 三、形成应用题的解题策略 四、实战演练—解题策略的应用
一、江苏高考数学应用题统计分析
2011 2010 2009 2008 2007 2006 包装盒面积和体积问题 测量问题 利润问题 距离问题 概率 体积问题
D
C
A
O
（ 第 17 题 ）
B
例 4．(2011 届南京一模)如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮 上截取一块矩形材料 ABCD， 其中点 A， 在直径上， C， 在圆周上． B 点 D 若 将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面 （不 计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并 求最大体积．
D P C
O A B
（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？
20 20 10sinθ 因为 y= －10tanθ+10= － +10 cosθ cosθ cosθ 20 10sinθ 问题转化为求 y= － +10 的最小值， cosθ cosθ 这是个常规的函数求最小值问题，可以利用导数求解.
D P C
4 3 16 4 3 32 ∴ 当a = 时有最大容积，最大容积为 × ＝ 3. 3 6 3 9 4 3 2 3 答：当容器的底面边长为 ，高为 时，长方体型无盖容器容积最大. 3 3
例 4．(2011 届南京一模)如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮 上截取一块矩形材料 ABCD， 其中点 A， 在直径上， C， 在圆周上． B 点 D 若 将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面 （不 计剪裁和拼接损耗） ，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并 求最大体积．
l
B C D
(第18题图）
你会用吗BD2 x2+(5－x)2－BD2 ＝ 9－x x－5
a＋c a－c a c = . 然后怎么办？ 比例的性质，若 = ，则 b d b+d b－d
2x2+(9－x)2+(5－x)2－2BD2 8(7－x) 所以 ＝ ＝4 4 2(7－x) 1 2 1 所以 BD = x + (9－x) + (5－x)2－8 2 2
一、江苏高考数学应用题统计分析
2011 2010 2009 2008 2007 2006 包装盒面积和体积问题 测量问题 利润问题 距离问题 概率 体积问题 几何背景 几何背景 销售背景 几何背景 几何背景
一、江苏高考数学应用题统计分析
2011 2010 2009 2008 2007 2006 包装盒面积和体积问题 测量问题 利润问题 距离问题 概率 体积问题 几何背景 几何背景 销售背景 几何背景 几何背景
（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为 正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、 焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容 积最大.
已知什么？ 求什么？
→边长为 4 的正方形钢板. →一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？
有哪些等量关系？ →长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积. 选“谁”做自变量？
l B C D A
(第18题图）
自变量是什么？ 等量关系是什么？
题目给出了自变量“AB＝x”， “∠A 和∠C 互补”， A
等量关系和 x 有什么关系？余弦定理！
l B C D
余弦定理有两种形式，选哪种形式？
AB2+AD2－BD2 x2+(9－x)2－BD2 是 cosA＝ ＝ ？ 2AB· AD 2x(9－x)
则问题变为：已知a2+4ah=16，求V= a2h最大时a或h的值？
已知什么？ 求什么？
→边长为 4 的正方形钢板. →一种切割方法，使得底面为正方形长方体的体积最大？
有哪些等量关系？ →长方体型无盖容器的侧面积与其底面积的和等于钢板的面积. 选“谁”做自变量？ →若设容器的底面正方形边长为a，容器的高为h，
(a)
(b)
例 3.有一块边长为 4 的正方形钢板， 现将其切割、 焊接成 一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计） ． （1）有人作了如下设计：如图（a） ，在钢板的四个角处 各切去一个小正方形， 剩余部分围成一个长方体， 该长方 体的高为小正方形边长，如图（b）. 请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V.
/ 2 2
(a)
(x∈(0,2))
(b)
2 2 / 又 x∈(0, ) 时，V (x)>0；x∈( ,2) 时，V/(x)＜0， 3 3 128 所以最大容积 V＝ . 27
（2）变式：现要把这块正方形钢板，制作成一个底面为 正方形的长方体型无盖容器，请你设计切割、焊接（切、 焊损耗忽略不计）方法，使得所制作的长方体容器的容 积最大.
小结：θ是个“好”自变量！
A
10－10tanθ
20 cosθ
θ 10 O B
例 2.（2012 南京二模 18）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面 内，布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用 现有材料，边 BC，CD 用一根 5 米长的材料弯折而成，边 BA，AD 用 一根 9 米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且 AB＝BC． （1）设 AB＝x 米，cosA＝f(x)，求 f(x)的解析式， 并指出 x 的取值范围； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值．
(第18题图）
还是 BD2＝AB2+AD2－2AB· cosA＝x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA AD·
自变量是什么？等量关系是什么？
AB2+AD2－BD2 x2+(9－x)2－BD2 是 cosA＝ ＝ ？ 2AB· AD 2x(9－x) 还是 BD2＝AB2+AD2－2AB· cosA＝x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA AD·
例 1． （2008 江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB＝20km，CB＝10km，为了处 理三家工厂的污水， 现要在矩形 ABCD 的区域上 （含边界） 且 A， ， B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂， 并铺设排污管道 AO， BO，OP，设排污管道的总长为 ykm. （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将 y 表示成 θ 的函数关系式， ②设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式； D C P （2）请你选用（1）中的一个函数关系式， 确定污水处理厂的位置，使三条排污管道 总长度最短. O
1、如何寻找和利用等量关系？
小结一：如何寻找等量关系？
答：1.在问题的题设中寻找； 2.在数学中的重要公式（距离、面积、体积）中寻找； 3.在图形的位置关系中寻找.
三、形成策略 2、如何找自变量？
例 3.有一块边长为 4 的正方形钢板， 现将其切割、 焊接成 一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计） ． （1）有人作了如下设计：如图（a） ，在钢板的四个角处 各切去一个小正方形， 剩余部分围成一个长方体， 该长方 体的高为小正方形边长，如图（b）. 请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V.
二、数学应用题的解题策略 数学应用题的解题程序 实际问题 建立数学模型 得到数学结果
解决实际问题
实际问题 重在审题！ 建立数学模型
如何审题？ 一要身临其境 要慢！要“品”！ 二要抓自变量 找等量关系！ “抓重点：等量关系是关键； 破难点：变量思想是主线.”
三、形成策略
1、如何寻找和利用等量关系？
D P C
（2）为求y的最小值， 应选择哪个函数？
A
O
B
（2）为求y的最小值，应选择哪个函数？
20 π 选 y= －10tanθ+10 (0≤θ≤ )， cosθ 4 θ 为自变量会碰到什么困难？能否解决？ 选 y=x+2 x2-20x+200 (0≤x≤10)， x 为自变量会碰到什么困难？能否解决？
A
l
B
D
C
(第18题图）
自变量是什么？等量关系是什么？
AB2+AD2－BD2 CB2+CD2－BD2 若选 cosA＝－cosC，转化为 ＝－ 2AB· AD 2CB· CD x2+(9－x)2－BD2 x2+(5－x)2－BD2 即 ＝ 9－x x－5
A
然后怎么办？
a＋c a－c a c 比例的性质，若 = ，则 = . b d b+d b－d
求什么？ 长方体的体积的最大值？ 选“谁”做自变量？ 小正方形的边长
(a)
(b)
（也可选底面正方形的边长）
求什么？ 选“谁”做自变量？
长方体的体积的最大值？ 小正方形的边长
解：设小正方形的边长为 x， 由题意，得 V(x)＝(4－2x) x＝4(x－2) x 2 令 V (x)=0，得 x＝ ， 3