1.化“三元”为“二元” （也就是消去一个未知数）
2.化“二元”为“一元”
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例1 解方程组
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ②
x-z=4. ③
1 . 化“三元”为“二元”
y3
代入消元法
加减消元法
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元
消 二元一次方程组 元 一元一次方程
怎样解三元一次方程组？
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
总 结
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例2 也可以这样解:
①+②+③,得 2(x y z) 12 ④
即， ⑤－①,得
xyz6 ⑤ z 3
⑤－②,得
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1
y
2
z 3
小结
（一）三元一次方程组的概念是什么? （二）解三元一次方程组的基本思路是什么? （三）在三元化二元时，对于具体方法的选取 应该注意什么？
x＋y+z=26，
含有三个未知数
x-y=1， 特点
2x+z-y=18. 未知数的项次数都是一次
定
义 含有三个相同的未知数，每个方程中含有未
知数的项的次数都是 1 ，像这样的方程组叫
做三元一次方程组
辨 析 判断下列方程组是不是三元一次方程组?
x y z 17 ① 3x y 7z 2
x y 16 ② 3x y 2
(z+4)-y+z=0 ⑥
化简得， 2z+y=-2 ⑦
2z-y =-4 ⑧
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解法三：消去z
由③得，z=x-4 ④
把④代入①、②得
x+y+(x-4)=2,⑤ x-y+(x-4)=0,⑥
化简得， ⑦
2x+y=6
4-y=0 ⑧
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
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三元一次方程组
定义
含有三个未知数，并且含有未知数的 项的次数都是1，像这样的整式方程 叫做三元一次方程。
解:设流氓兔x岁，加菲猫y岁，米老鼠z岁，
x＋y+z=26，
①x-y=1， ②
2x+z-y=18． 组合在
③
一起
x+y+z=26 ①
x-y=1
②
2x+z-y=18 ③
这样就构成了 方程组
三元一次方程组如何定义?
√
×
方程个数不一定是三个, 方程中含有未知
但至少要有两个。
数的个数是三个
辨析
x 2y z 3 ③ 3x y z 2
2xy y z 11
×
x+y =20
④ y+z=19
x+z=21
√
方程中含有未知数的 方程组中一共有
项的次数都是一次
三个未知数
1、解二元一次方程组32xx
y的 2方法有哪些？
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次 方程（如例1中的③），则可以先通过对另 外两个方程组进行消元，消元时就消去三个 元中这个二元一次方程（如例1中的③）中 缺少的那个元。缺某元，消某元。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应 该注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2, x-y+z=0, x-z=4.
x y 1
④
① + ④，得
2x 2
∴ x 1
把 x=1 代入方程①、③，分别得
y 2, z 3
x 1
所以,原方程组的解是
y
2
z 3
可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？
例2 解方程组
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
1 . 化“三元”为“二元”
解：
③－②，得
x y 1
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④ x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
z
x
3 2
5
5
2把 x=代入③，得25z4
2
① ②
③
把x
5 2
,
z
3 2
代入②，得
5 y ( 3) 0
2
2
y=1
所以，原方程组的解是
x y
5 2 1
z
3
2
课堂练习
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
x y 3 x y 1
④ ① ④
原方程组中有 哪个方程还没 有用到？
可不可以不用①？
yz5 ②
zx4
③
x y 1 ④
x y 1 ④
在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的
二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程
一般都至少要用到一次．
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
例2 解方程组 x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
1 . 化“三元”为“二元”
解：③－②，得
x y 1
④
xy3 ① x y 1 ④ 2. 化“二元”为“一元”
原方程组中 有哪个方程 还没有用到 ？
例2 解方程组 解: ③ - ②，得
x y 3 ①
y
z
5
②
z x 4 ③
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
解法一：消去y
①＋②，得 2x+2z=2 x z 1 ④
x-z = 4 ③
xz 1 ④
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④ 把④代入①、②得，
（z+4)+y+z=2 ⑤