式中：βi 代表i 种证券β系数；σiM 代表i 种证券收益率与市场组合收益率的协方差；σM 代表市场组合收益率的方差。

由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消，因此一个证券组合的β系数βp 等于该组合中各种证券的β系数的加权平均数，权重为各种证券的市值占整个组合总价值的比重wi ，其公式为：
β系数说明单个证券系统性风险与市场组合系统性风险的关系。

β=1说明该证券系统风险与市场组合风险一致；β>1说明该证券系统风险大于市场组合风险；β<1说明该证券系统风险小于市场组合风险；β=0.5说明该证券系统风险只有整个市场组合风险的一半；β=2说明该证券系统风险是整个市场组合风险的两倍；β=0说明没有系统性风险。

第二节 金融市场投资组合理论
证券投资组合理论的基本模型是由马柯维茨提出来的，在一系列合理假设下，讨论有效集和最佳投资组合。

一、投资者行为的几种假设
1、投资者认为，每一个投资选择都代表一定持有期内预期收益的一种概率分布。

2、投资者追求一个时期的预期效用最大化，而且他们的效用曲线表明财富的边际效用递减。

3、投资者根据预期收益的变动性，估计资产组合的风险。

4、投资者完全根据预期收益率和风险作决策，这样他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差（或标准差）的函数。

5、在特定的风险水平上，投资者偏好较高的收益。

与此相似，在一定预期收益率水平上，投资者偏好较小的风险。

二、风险偏好与无差异曲线
不同的投资者对收益的偏好和对风险的厌恶程度是有差异的，这一差异的存在无疑会影响到他们对于投资对象的选择。

因此，我们在寻找最优投资策略时必须把投资风险、收益和投资者偏好同时加以考虑。

i
n
i i
p w
ββ∑==
1
1、风险偏好
相对风险而言投资者对收益的偏好，有三种类型：喜好风险型，投资者为了获得较高投资收益，愿意承担相对较高的投资风险；厌恶风险型，投资者获得一定投资收益时，只愿意承担相对较低的投资风险；风险中性。

2、无差异曲线
投资者无差异曲线是指能够给投资者带来相同满足程度的收益与风险的不同组合。

无差异曲线的斜率表示风险和收益之间的替代率，斜率越高，表明为了让投资者多冒同样的风险，必须给他提供的收益补偿也应越高，说明该投资者越厌恶风险。

同样，斜率越低，表明该投资者厌恶风险程度较轻。

3、有效边界和最优投资组合
现实生活中证券种类繁多，可以构成无数组合，根据马柯维茨的有效集定理，可以确定最优投资组合的方法。

（1）可行集
可行集是指由n种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。

也就是说，所有可能的组合将位于可行集的内部或边界上。

一般来说，可行集的形状像伞状。

（2）有效集
有效集是指能同时满足预期收益率最大，风险最小的投资组合的集合。

对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。

对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。

能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集。

有效集曲线具有如下特点： 有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险“的原则； 有效集是一条向上凸的曲线 有效集曲线上不可能有凹陷的地方。

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（3）最优投资组合
最优投资组合是投资者的无差别曲线和有效集的切点。

有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凹的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。

对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的，而无差异曲线则是主观的，它是由投资者风险―收益偏好决定的。

厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡。

厌恶风险程度越低的投资者，其
无差异曲线的斜率越小。

第三节 无风险借贷对有效集的影响
投资者不仅投资风险资产而且投资无风险资产，就是说投资者购买的证券组合是由n 个风险证券和1个无风险证券组成，或者说包含n 个风险证券组成的组合P 和1个无风险证券F ，进一步还允许投资者支付一定的利率借款购买证券。

一、使用无风险资产对有效集的改进
无风险贷款相当于投资于无风险资产，其收益率是确定的。

因此无风险资产是有确定的预期收益率和方差为零的资产。

每一个时期的无风险利率等于它的预期值。

因此，无风险资产和任何风险资产F 的协方差是零，所以无风险资产与风险资产不相关。

1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形
2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形
3、使用无风险资产对有效集进行改进
如果投资者把资金完全投资于无风险资产上，预期收益率为R F ，风险为零；完全投资在风险资产组合的证券上，预期收益率为
)
(0P R E ，风险为
P
σ；投资
在这两种资产组合上，预期收益率和风险的大小决定于投资在无风险资产的权重W F 。

二、使用无风险借款对有效集的改进
1、无风险借款并投资于一种风险资产的情形
我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可用W 1和W 2表示，且W 1+W 2=1，W 1>1，W 2<0。

这样，上述公式也完全适用于无风险借款的情形。

由于W 1>1，W 2<0，因此在图上表现为AB 线段向右边的延长线上，这个延长线再次大大扩展了可行集的范围。

2、无风险借款并投资于风险资产组合的情形
同样，由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合，其预期收益率和风险的关系与由无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似。

)]()][([),(=--=i i F F i F R E R R E R E R R COV
我们仍假设风险资产组合B 是由风险证券和C 和D 组成的，则由风险资产组合B 和无风险借款A 构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在AB 线段向右边的延长线上。

3、无风险借款对有效集的影响
在允许无风险借贷的情况下，马科维茨有效集由CTD 弧线变成过最优投资组合点的直线。

在允许无风险借贷的情况下，有效集变成一条直线，该直线经过无风险资产点并与马科维茨有效集相切。

4、无风险借款对投资组合选择的影响
如果一个投资者投资在最优投资组合点左侧，他的资金W F 投资在无风险资产上，（1－W F ）投资在风险证券组合上，这个投资者以无风险利率贷出，如购入国库券，实际上是贷款给政府收取无风险利息。

越靠近R F 风险越小。

当W F ＝1时即投资者把所有资金都投资在无风险资产上；相反当W F ＝0时投资者把所有资金投资在风险证券组合上。

如果一个投资者投资在最优投资组合点右侧，W F 是负值，表示用出售（或发行）证券或以无风险利率从银行借款或卖空筹集资金用于购买风险证券组合。

若W F ＝－1，那么1－W F ＝2，就是投资者借到和他自有可投资金额相等的资金投资到风险证券组合P 。

这时投资者证券组合的预期收益率为：
)
(2)()1()(00P P F F F P R E R R E W R W R E +-=-+=
当借款增加，预期收益率线性地增加。

它的标准差是：
2)1(P
P F P W σσσ=-=
可见，当借款增加，风险将增大。

结论：无利率风险贷款在最优投资组合点左侧，无风险借款在最优投资组合点右侧。

投资学学习指导。