平行正投影三视图
1.投影规律:
左 上
主xoy
下
右
高平齐
上
yoz
后 左 前 下
主、俯视图 “长对正” 主、左视图 “高平齐” 俯、左视图 “宽相等”
左
长对正
后
俯zox
右
宽相等
前
主视图 上下、左右； 2.各视图中的方位： 俯视图 前后、左右； 左视图 前后、上下。
例三棱柱及表面上各点的三视图。
两种三维直角坐标系统 (a)右手系统 (b)左手系统
平面几何投影分类
F为投影平面；p1p2 为三维直线；p’1p′2 是p1p2 在F上的投影； 虚线显示投影线；o是投影中心。
•由平行投影方法表现三维对象的图，称为正视图和轴测图；
•由透视投影方法表现三维对象的图，称为透视图。
平行投影
按照标准线与投影面的交角不同，平行投影分 为两类：正交平行投影和斜交平行投影。 1、正交平行投影(orthographic P.P.)的投影 线与投影平面成90°角。将一个三维点(x,y,z)用 正交平行投影法投影平面xoy上，得到一个二维 点(xp,yp)。这种变换，可以由正交平行交换公式 来计算，它为 xp＝x； yp＝y； zp＝0
同样，也可以将三维物体正交平行投影 于xoz和yoz平面上，分别获平视与侧视图。 设计中常用正交平行投影来产生三视图称 为正视图。它们具有x,y方向易于测量的 特点，因此作为主要的工程施工图纸。

的方向一致。 分类（组成）：主视图X、侧视图Y、俯视图Z 注意：此处， X指前， Y指右，Z指上

1平行投影(parallel projection)。它使用一组 平行投影线将三维对象投影到投影平面上去(图 3.21(a))。 2透视投影(perspective projection)。它使用 一组由投影中心产生的放射投影线，将三维对象 投影到投影平面上去。


投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为无限
透视投影(Perspective projection)
y
P
xc x z x
P’
xP
Q C
x
O
Q’
P’
Q’
zc
z
C’
z
C’
P为Q的投影
在oxz平面上的正投影
在坐标系oxyz中来讨论投影，假设投影平面就是z=0。 (一点透视) 设视点[PRP]C(xc,yc,zc)，空间中任一点Q(x,y,z)在 z=0平面上的投影为 P(xp,yp,zp)。设Q、P、C在 oxz 平面 上的正投影为Q’，P’和C’，可得透视投影的计算公式
平行性:
(四 )
常见的几种轴测图
1. 正(斜)等轴测图： p = r = q
常见轴测图
2. 正(斜)二等轴测图：p = r q 3. 正(斜)三轴测图： p r q
正等轴测图 斜二等轴测图 正二等轴测图
变形 系数 轴 间 角 p=q=r = 0.82 1 XZ： XY: YZ:
ZZ Z
轴测图的平行性
Z
Z
X
Y
X
Y
三视图
Y
物体上平行的直线轴测投影仍平行 与轴平行的直线仍与该轴测轴平行
常见轴测图
Orthographic Projection
平行投影（Parallel )
设给定的投影方向为（xd,yd,zd）。假设P(xp,yp) 为任一点Q（x,y,z）在该投影方向上在z=0平面上的 投影。又设Q和P在oxz平面上的投影分别为Q’和P’。 α为Q’P’与x轴的夹角，易知 tgα=zd/xd。
• 这样，一个三维空间里的物体就可以用相应的二维平 面物体表示了，也就能在二维的电脑屏幕上正确显示了。
相机（Camera ）模拟方式
透视投影(Perspectiveprojection)
透视投影（Perspective Projection） 透视投影符合人们心理习惯，即离视点近的 物体大，离视点远的物体小，远到极点即为消失， 成为灭点。它的视景体类似于一个顶部和底部都 被切除掉的棱椎，也就是棱台。这个投影通常用 于动画、视觉仿真以及其它许多具有真实性反映 的方面。
用户坐标系3D设备坐标系视区
选择视图，建立相应的视图区选好视图后，在CRT上为其建立视图区，每个 视图区代表一个坐标平面，操作一个视图。 根据3D物体的复杂程度，合理选择视图数目。原则：在能表示清楚物体的形 状和尺寸的前提下，视图数目越小越好。
1）主视图（y)
2）俯视图 z
3）侧视图x
三视图的生成就是把x、y、z坐标系的形体投影到z=0的平面，变换 到u、v、w坐标系。一般还需将三个视图在一个平面上画出，这时就 得到下面的变换公式，其中(a,b )为u、v坐标系下的值，tx、ty、tz 均如图中所示。 (注：这里以垂直Y轴为主视图）
2. 轴向变形系数：
X Z
Y
沿轴测轴测量而得到的投影长度与实际长度之比。
X轴的轴向变形系数：
Y轴的轴向变形系数：
p
q
=
=
oa / OA
ob / OB
Z轴的轴向变形系数：
r
=
oc / OC
(三 )
轴测图的投影特性
(1) 物体上相互平行的直线， 其轴测投影仍相互平行；
(2) 物体上与坐标轴平行的直线， 其轴测投影仍与该轴测轴平行。
Ys
S
简单的一点透视投影变换
Qs
Y Qw O
P0 Z
Qw (Xw, Yw, Zw) Qs (Xs, Ys)
Xs Z2
Z1 X
P0 ：
视点
S平面：投影面，屏幕画面 点Qw的透视：P0Qw与平面S的交点
当投影面与某轴垂直时为一点透视； 当投影面平行于某坐标轴，但与另 外两轴不垂直时为二点透视；否则 为三点透视
p=r=1 q = 0.5 XZ：90
p=r1 q 0.5 XZ：9710 XY: YZ:
Z 9710
120
XY: YZ:
Z
135
Z
13125
120 120 120 120 120 120 30 0 30 0 3030 30 30 0 X 120 Y X 120 120 X YY
三维图形的基本问题（2/4）
三维形体的表示----空间直线段、折线、曲 线段、多边形、曲面片 三维形体的输入、运算、有效性保证----困 难 解决方法----各种用于形体表示的理论、模 型、方法 (线框模型、表面模型、实体模型) 如何反映遮挡关系？

物体之间或物体的不同部分之间存在相互 遮挡关系 遮挡关系是空间位臵关系的重要组成部分 解决方法----消除隐藏面与隐藏线
投影中心与投影平面之间的距离为有限
根据投影 方向与投 影平面的 夹角 根据投影 平面与坐 标轴的夹 角
一、 投影变换的分类：
正投影 (三视图) 正平行投影 平行投影 正轴测投影
正等测投影 正二测投影 正三测投影
(三轴变形系数相等) (两轴向变形相等) (三轴变形系数各不相同)
斜平行投影
斜等测投影 斜二测投影
透视投影(Perspectiveprojection)计算公式。
(xp-xc)/ zc= (x-xc)/(zc-z)
z
xc x
xP
x
P’
三维图形的基本问题（3/4）
如何产生真实感图形 何谓真实感图形
逼真的 示意的


人们观察现实世界产生的真实感来源于
空间位臵关系----近大远小的透视关系和遮挡关 系 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布


解决方法----建立光照明模型、开发真实感 图形绘制方法
三维图形的基本问题（4/4）
A
B
a’
S
a’
(b’)
b”
a”
(b’)
(b)
a
轴测图的形成与分类
定义：用一个投影面来表达物体长、宽、高三个方 向形状的图样； 特点：直观性好，立体感强。但作图复杂且有变形； 用途：一般作为工程上的辅助图样。
正轴测图
按形成方法可分为二大类：
斜轴测图
轴测图的参数
1. 轴间角： 相邻两轴测轴之间的夹角。
x
O
Q’
P’
Q’
x
z
zc
z
透视投影 (Perspectiveprojection)
相机（Camera ）模拟方式
实际上，从三维空间到二维平面，就如同用相机拍照一样， 通常都要经历以下几个步骤 :
• 第一步，将相机置于三角架上，让它对准三维景物 （视点变换，Viewing Transformation）。
S
P
P
(使其三方向的轴均倾斜于轴测投影面)
斜 轴 测 图
(1) 以正投影面作为轴测投影面(P)；
形成的方法:
(2) 投影方向倾斜于轴测投影面( S ∠ P )； (3) 物体与投影面的相对位置不变。
S
P
P
(使其 X、Z 轴平行于轴测投影面)
轴 测 图
半圆弧变 成椭圆弧 圆形变 成椭圆
矩形变 成棱形 轴承座零件的轴测图
三维图形的基本研究内容
1. 2. 3. 4.
投影 三维形体的表示 消除隐藏面与隐藏线 建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法
投影(projection)变换
由于显示器和绘图机只能用二维空间 来表示图形，要显示三维图形就要用投 影方式来降低其维数。
–投影
•将n维的点变换成小于n维的点 •将3维的点变换成2维的点
• 第二步，将三维物体放在适当的位置（模型变换， Modeling Transformation）。 • 第三步，选择相机镜头并调焦，使三维物体投影在二 维胶片上（投影变换，Projection Transformation）。