又|A→B|＝12，|B→C|＝15，∴|A→C|＝9.
由已知可得A→D＝12(A→B＋A→C)，C→B＝A→B－A→C，
∴
→ AD
→ ·CB
＝
1 2
(
→ AB
＋
→ AC
→ )·( AB
－
→ AC
)
＝21
(
→ AB
2
－
→ AC
2)
＝
1 2
(144－81)＝623.
(2)A→E·C→B的值为一个常数． 理由：∵l 为线段 BC 的垂直平分线，l 与 BC 交于点 D， E 为 l 上异于 D 的任意一点，∴D→E·C→B＝0. 故A→E·C→B＝(A→D＋D→E)·C→B＝A→D·C→B＋D→E·C→B＝A→D·C→B ＝623.
人教2019版必修第一册
第六章 平面向量
章末总结
知识系统整合
专题突破 融会贯通
专题一 向量的线性运算
向量的线性运算包含向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循 三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交 换律、结合律，数乘向量满足分配律，向量的线性运算也叫向量的初等运算，它们 的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但在具体含义上是不 同的．不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同 类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用．如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a ＝λ1e1＋λ2e2.向量的线性表示常常单独考查，也常常和解析几何结合考查．
例 3 在△OAB 中，O→A＝a，O→B＝b，OD 是 AB 边上的 高，若A→D＝λA→B，则实数 λ 等于( )
A．b|a－－ab·|a B．a|a－－bb|·2a C．b|a－－ab|·2a D．a|a－－bb·|a
解析 ∵A→D＝λA→B，∴O→D－O→A＝λ(O→B－O→A)， O→D＝λO→B＋(1－λ)O→A＝λb＋(1－λ)a， 又O→D是 AB 边上的高，∴O→D·A→B＝0， 即O→D·(O→B－O→A)＝0，∴[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0.
解析 (1)设O→M＝(x，y)，∵点 M 在直线 OP 上， ∴向量O→M与O→P共线，又O→P＝(2,1)． ∴x×1－y×2＝0，即 x＝2y. ∴O→M＝(2y，y)．又M→A＝O→A－O→M， O→A＝(1,7)，∴M→A＝(1－2y,7－y)． 同理M→B＝O→B－O→M＝(5－2y,1－y)． 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12. 可知当 y＝22×05＝2 时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
例 2 已知线段 AB 的端点为 A(x,5)，B(－2，y)，直线
AB 上的点 C(1,1)，且|A→C |＝2|B→C |，求 x，y 的值． 解析 由|A→C |＝2|B→C |，可得 A→C ＝±2B→C ， 又 A→C ＝(1－x,1－5)，2B→C ＝2(1＋2,1－y)＝(6,2－2y)，
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，点 M，N 分别 是 DA，BC 的中点，且DABC＝k，设A→D＝e1，A→B＝e2，以 e1， e2 为基底表示向量D→C，B→C，M→N.
解析 ∵A→B＝e2，且DABC＝k，∴D→C＝kA→B＝ke2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0，∴B→C＝－A→B－C→D－D→A＝－ A→B＋D→C＋A→D＝e1＋(k－1)e2. 又∵M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0， 且N→B＝－21B→C，A→M＝12A→D， ∴M→N＝－A→M－B→A－N→B＝－21A→D＋A→B＋12B→C＝k＋2 1e2.
例 5 在△ABC 中，A→B·A→C＝0，|A→B|＝12，|B→C|＝15，l 为线段 BC 的垂直平分线，l 与 BC 交于点 D，E 为 l 上异于 D 的任意一点．
(1)求A→D·C→B的值； (2)判断A→E·C→B的值是否为一个常数，并说明理由．
解析 (1)∵A→B·A→C＝0，∴AB⊥AC.
专题四 利用正余弦定理解三角形
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边) 求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和 非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)， 解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．
解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边 (一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角 (一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求 角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角 或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．
(2)当O→M＝(4,2)，即 y＝2 时，
有M→A＝(－3,5)，M→B＝(1，－1)，
|M→A|＝ 34，|M→B|＝ 2，
M→A·M→B＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
→→
cos∠AMB＝
MA·MB →→
＝
|MA||MB|
－8 34×
2＝－4
17 17 .
专题三 向量的应用
向量的应用是多方面的，但由于我们所学的知识范围较 窄，因此我们目前的应用主要限于平面几何、平面解析几何 以及用来探讨函数、三角函数的性质等方面，当然还有在物 理方面的应用．
①当
A
→
C
＝
2B
→
C
时
，
有
1－x＝6，
解得
－4＝2－2y，
x＝－5，
y＝3.
②当
A
→
C
＝
－
2
→ BC
时
，
有
1－x＝－6，
解得
－4＝－2＋2y，
x＝7，
y＝－1.
x＝－5， x＝3
y＝－1.
专题二 向量的数量积运算
向量的数量积运算是本章的核心，由于向量数量积的运 算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的 应用也最为广泛．利用向量的数量积可以求长度、也可判断 直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过 向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知 识融合在一起，当然更为重要的还在于向量与解析几何知识 的交汇．
a－b·a
整理可得 λ(a－b)2＝(a－b)·a，即 λ＝
.
|a－b|2
答案 B
例 4 平面内有向量O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，O→P＝(2,1)， 点 M 为直线 OP 上的一动点．
(1)当M→A·M→B取最小值时，求O→M的坐标； (2)在(1)的条件下，求 cos∠AMB 的值．