x 在反比例函数y=k (k≠0)中,为了方便,k通常叫做比例系数
x 反比例函数中,三个量x,y,k均不为零,比例系数k≠0是反比例函数定义 的一个重要组成部分
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拓展
反比例关系与反比例函数的区别和联系
在小学时,我们学过反比例关系.如果xy=k(k是常数,k≠0),那么x与y 这两个量成反比例关系,这里x、y既可以代表单独的一个字母,也可以代
x
(2)代:把已知条件代入表达式,得到一个关于k的方程; (3)解:解这个方程,求出待定系数k;
(4)写:将待定系数k的值代入y= k 中,得到反比例函数的表达式.
x
根据实际问题列反比例函数表达式,就是通过反比例函数的概念,从实
际问题中抽象出函数关系,从而将文字语言转化为数学语言.
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初中数学（北师大版）
九年级 上册
第六章 反比例函数
第六1 章反比反例比函例数函数
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知识点一 反比例函数
定义
解析式 比例系数
注意
一般地,形如y= (k为常数,k≠0)的函k 数,叫做反比例函数,其中x是自变 x
量,y是函数 y= k或y=kx-1或xy=k(k≠0)
如y= x32 的式子中,y是x2的反比例函数,不要误认为y是x的反比例函数.
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栏目索引知识点二 反比例函数表式的确定由于反比例函数y= k (k≠0)只有一个待定系数,因此只需要一组对
x
应值,即可求出k的值,从而确定其表达式.
用待定系数法求反比例函数表达式的步骤:
(1)设:设反比例函数的表达式为y= k (k≠0);
R
(2)把R=5代入I= 2.5 ,得I= 2.5 =0.5,即当R=5欧姆时,电流强度为0.5安培.
R
5
点拨 此题中的变量是R与I,不要被固定思维限制,而误设为y= k (k≠0).
x
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题型一 利用反比例函数的定义求值 例1 已知函数y=(m2+2m) xm2m1 . (1)若y是x的正比例函数,求m的值; (2)若y是x的反比例函数,求m的值. 分析 紧扣定义解答.(1)由正比例函数的定义可知:x的指数为1,系数不 为零.(2)由反比例函数的定义可知:x的指数为-1,系数不为零. 解析 (1)依题意得m2+m-1=1,且m2+2m≠0, 解得m=1. (2)依题意得m2+m-1=-1,且m2+2m≠0. 解得m=-1.
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分析 因为I与R成反比例,所以可设I= U (U≠0),解析式中只有U一个待
R
定系数,所以只要将R=12.5,I=0.2这一对数据代入I= U (U≠0)即可.
R
解析 (1)∵I与R成反比例,∴设I= U (U≠0).
R
把R=12.5,I=0.2代入上式得U=2.5,
∴I= 2.5 (R>0).
1
函数关系;⑤y= 1 是反比例函数,可以写成y= 2 ;⑥ y= a ,当a≠0时是反比
2x
x
x
例函数,没有此条件则不一定是反比例函数.
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答案 ②⑤
温馨提示 判断一个函数是不是反比例函数的方法:先看它是否能写成 反比例函数的三种表示形式中的一种;再看k是不是常数且k≠0.警示:形
图6-1-1
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分析 (1)根据面积为60 m2可得出y与x之间的函数表达式.(2)由(1)的表 达式,结合x,y都是正整数,可得出x的可能值,再由三边材料总长不超过 26 m,DC的长小于12 m,可得出x,y的值,继而得出可行的方案.
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误区警示 不管是正比例函数还是反比例函数,在考查其定义时,都必 须关注两点:一是自变量的指数,二是相应的k值,不要忽视k不为零这一 条件.
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题型二 根据表格确定反比例函数的解析式
例2 已知y是x的反比例函数,请你根据下表回答下列问题.
3
x
-12
-6
4
y
-4
1
(填序号).
①y=2x-1;②y=- 5x;③y=x2+8x-2;④y= x32 ;⑤y= 21x;⑥y= ax.
解析 根据反比例函数的定义进行判断,看它是否满足反比例函数的三
种表示形式.
①y=2x-1是一次函数;②y=- 5 是反比例函数;③y=x2+8x-2不符合反比例
x
函数的定义,不是反比例函数;④y= x32 ,y与x2成反比例,但y与x不是反比例
3
(1)求出这个反比例函数的解析式;
(2)把表填完整.
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24
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解析 (1)设反比例函数的解析式为y= k (k≠0),
x
则 1 = k ,
3 12
解得k=-4,
∴反比例函数的解析式为y=- 4 .
x
(2)填表如下:
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x
1
3
-12
-6
- 1
4
6
y
-4
- 16
1
2
24
3
知识拓展 根据实际问题列反比例函数表达式的关键: (1)首先应分析清楚各变量之间应满足的关系式,然后建立反比例函数 模型,最后解决实际问题. (2)一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围. 例2 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电 压不变,电阻R=12.5欧姆时,电流强度I=0.2安培. (1)求I与R的函数表达式; (2)当R=5欧姆时,求电流强度.
3
3
点拨 由表格可知,当x=-12时,y= 1 ,所以反比例函数的解析式可求出.已
3
知反比例函数的解析式,自变量和函数值可以互求.
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题型三 利用反比例函数解决实际问题 例3 如图6-1-1,科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技 园ABCD,其中一边AB靠墙,墙长为12 m.设AD的长为x m,DC的长为y m. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若围成的矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m,材料AD和 DC的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.
表多项式或单项式,若y+3与x-1成反比例,则y+3=k (k为常数,k≠0);若y
x 1
与x2成反比例,则y= k (k为常数,k≠0).反比例关系不一定是反比例函数,但
x2
反比例函数y= k (k为常数,k≠0)的两个变量必成反比例关系.
x
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例1 下列关系式中,y是x的反比例函数的是