目
§1 §2 §3 §4 代数运算 群的概念 子 群
录
循环群
正规子群与商群 群的同构与同态 有限群
数学与计算科学学院Company Logo
§5
§6 §7
2018/11/
§6
定义 6.1
群的同构与同态
设 (G, ) 和 (G ' , ) 是两个群.
2018/11/
数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
其次,假设 G1 和 G2 是两个群, 并且 G1 G2 .不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同构 . 于是 , f 的逆映射 f 1 是 G2 到 G1 的双射.对于任意的 a' , b' G2 ,我们有
f ( f 1 (a' b' )) a' b' , f ( f 1 (a' ) f 1 (b' )) f ( f 1 (a' )) f ( f 1 (b' )) a' b' ,
从而，
f 1 (a' b' ) f 1 (a' ) f 1 (b' ) .
2018/11/
f ( x) x' , x G .
2018/11/
数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群 G 与自身同构; Ⅱ.若群 G1 与群 G2 同构,则群 G2 与群 G1 同构; Ⅲ.若群 G1 与群 G2 同构 ,群 G2 与群 G3 同构,则群 G1 与群 G3 同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先 , 对于任何群 G , 单位变换 I G 就是 G 到自身的 一个同构.因此 G G .所以性质Ⅰ成立.
(G ' , ) 同构,记作 (G, ) (G' , ) ;不致混淆时,简记作 G G' .
(3) 群 (G, ) 到群 (G, ) 的同构称为群 (G, ) 的 自同构, 简称 为群 G 的自同构.
2018/11/
数学与计算科学学院Company Logo
2018/11/ 数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
容易验证, G ' 关于矩阵的乘法构成一个群,其乘法表为 · e' a ' b' c' e' e' a ' b' c' a ' a ' e' c' b' b' b' c' e' a ' c' c' b' a ' e' 对照群 G 和 G ' 的乘法表容易发现,这两个群的结构没有本 质上的差别,由下式确定的 G 到 G ' 的映射 f 是同构:
§6
群的同构与同态
例 1 设 G {e, a, b, c}为 Klein 四元群.我们知道,其 乘法表为 · e a b c
e e a
b
a a e c
b
b b
c c
b
c
c e a
a e
现在令 G' {e' , a' , b' , c'} ,其中
1 0 1 0 1 0 1 0 e' 0 1 , a' 0 1 , b' 0 1 , c' 0 1 .
f (a b) f(a) f(b), a,b G ,
(1)若 f 是 G 到 G ' 的一个双射,并且 f 保持代数运算,即 则称 f 为群 (G, ) 到群 (G ' , ) 的一个 同构 ;不致混淆时 ,简称 f 为群 G 到群 G ' 的一个同构或 f 为同构. (2) 若存在群 (G, ) 到群 (G ' , ) 的同构 , 则称群 (G, ) 与群
(axa )(aya ) f a ( x) f a ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
1
1
f a 称为群 G 的一个内自同构.
2018/11/
数学与计算科学学院Company Logo
§6
例 3
群的同构与同态
设 G 是群 , H 是 G 的子群 , a G . 考察集合
aHa1 .容易验证, aHa1 是 G 的子群.
显而易见, aHa1 就是 H 在群 G 的内自同构 f a 之下的 象,即 aHa1 { f a (h) | h H} .
构, g 是群 G2 到群 G3 的同构.容易验证, gf 是群 G1 到群 G3 的同构(从略).因此 G1 G3 .所以性质Ⅲ成 立.
2018/11/
数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
例 2 设 G 是一个群.任意取定 a G ,定义 G 到自 身的映射 f a 如下:
数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
因此 f
1
是群 G2 到群 G1 的同构 , 从而 , G2 G1设 G1 , G2 和 G3 都 是 群 , 并 且
G1 G2 , G2 G3 . 不妨设 f 是群 G1 到群 G2 的同
f a (a 1 xa) a(a 1xa)a 1 x ,
2018/11/ 数学与计算科学学院Company Logo
§6
群的同构与同态
因此 f a 是满射, 从而, f a 是双射. 又因为对于任意的
x, y G ,我们有
f a ( xy) a( xy)a 1 ,
f a ( x) axa , x G .
容易验证, f a 是群 G 的一个自同构.事实上,对于 任意的 x, y G ,根据消去律,我们有
f a ( x) f a ( y) axa1 aya1 x y .
1
因此 f a 是单射.对于任意的 x G ,我们有