为三元置换 .
8
二.置换的乘积 .
设 A ? ?1 , 2 , 3?的任二个置换为
? ? ????12
2 3
31???? ,? ? ????13
2 1
23????,那么由于 ? 和? 都是
一一变换,于是 ? ? 也是 A 的一一变换 .且有
? ? :1 ? 1, 2 ? 2 ,3 ? 3 .
记为:
5
一． 置换群的基本概念
定义 1 任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射）， 那么这个变换为 A的一个置换。有限集合 A 的若干 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
注意:置换乘积中 ,是从左到右求变换值 ,这是与过去
的习惯方法不同的（也要看各书要求）。
例 2 设 A ? ?1 , 2 , 3?,那么 A 的全部一一变换构成的三次
对称群为 S3 ? ?? 0 ,? 1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,? 5 ?.其中
? 0 ? ????11
2 2
33????, ? 1 ? ????11
31????.用 ? = ????12
2 3
31????来描述 A 的
一个置换的方便之处是显而易见的 .当然,上述的置换可记为
?2 ???3
1 2
3? 1???
，
?3 ???1
1 2
23????…,
但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统
一在一种表示置换的方法内进行研究工作了 .习惯上称它
， ， . a1? ? a2 a2? ? a3 a3? ? a1
7
由于映射中只关心元素之间的对称关系 .而不在乎元素的
具体内容.故可设 A ? ?1 , 2 , 3?.故此. ? :1 ? 2 , 2 ? 3 , 3 ? 1.稍做
1 23
修改: ? ： ? ? ?
231
?
? = ????12
2 3
1
第9讲
第二章 群 论
§6 置 换 群 (2课时)
(pormutation group)
2
本讲的教学目的和要求 :
置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 1o 弄清置换与双射的等同关系。 2o 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3o掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 4o理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
定理 1 n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
证明任意?
?
?1 ??i1
2 i2
n?
in
? ?
?
Sn ,i1有n种取法,当i1
取定后,i2 只有n-1 种取法,如此继续下去, in 只有1
种取法.因此共有n(n-1)…2?1=n!个不同的置换,所
以 Sn =n!.
12
由于置换群也是变换群,故必蕴含
一种记法.设有
8
元置换?
?
?1 ???4
2 3
3 5
4 2
5 1
6 6
7 7
8? 8???
,?
的变换过程为1? 4 ? 2 ? 3 ? 5 ? 1,即其他元素都不改
变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换
可写成循环置换的形式:? ? ?1 4 2 3 5?
14
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式 ,它以
1?? ? 1, 2?? ? 2 , 3?? ? 3 .
换句话说:?? ? ????12
2 3
31????????13
2 1
23???? ? ????11
2 2
33????
9
例1. 计算下列置换的乘积 :
(1) ? ? , (2) ? 2 , (3) ?? 2 .
解:
?? ? ????13
2 1
23????????12
2 3
31???? ? ????11
2 2
3 3
????
? 2 ? ????12
2 3
31????????12
23????
??
2
?
???
??
?
?1 ???1
2 2
3??1 3??????3
2 1
3? ?1 2??? ? ???3
2 1
3? 2 ???
?
?
10
6
说明：由定义1 知道，置换群就是一种特殊
的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对 称群Sn 也就是有限集合A 的完全变换群。
现以A ? ?a1 ,a2 , a3?为例，设? ：A ? A是 A的一 一变换。即 ? : , , a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a1,利用本 教材中特定的表示方法有：
着变换群的一切特征.譬如,不可
交换性和结合律: ，
????11
2 3
23????????12
2 1
33???? ? ????12
2 3
31????
? ????13
2 1
23???? ? ????12
2 1
33????????11
2 3
3 2
????
13
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍
2 3
23???? , ? 2 ? ????12
2 1
33????
?1
? 3 ? ???2
2 3
3? 1???
,
?1
? 4 ? ??? 3
2 1
3? 2???
,
?1
? 5 ? ???3
2 2
3? 1???
所以 S3 ? 3!? 6 .其中 ? 0 是恒等变换 .即 ? 0 是 S3 的单位元 .
11
3
本讲的重点与难点： 对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置
换的分解定理。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置
换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚
了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群
容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复
杂了。
4
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群），大多数还在 等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832) 在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。